ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 5 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что:
1) \(a^3 — b^2 \geq ab(b — a)\), если \(a \geq b\);
2) \(m^3 — 2m^2 + m — 2 \geq 0\), если \(m \geq 2\).

1) Перепишем неравенство: \(a^3 — b^2 \geq ab(b — a)\).
Найдём разность левой и правой частей:
\((a^3 — b^3) — ab(b — a) = a^3 — b^3 — ab^2 + a^2 b = a^2(a+b) — b^2(a+b)=\)
\( = (a^2 — b^2)(a+b) = (a-b)(a+b)^2 \geq 0\), так как при \(a \geq b\) произведение неотрицательно.

2) Проверим неравенство \(m^3 — 2m^2 + m — 2 \geq 0\) при \(m \geq 2\).
Преобразуем левую часть:
\(m^3 — 2m^2 + m — 2 = m^2(m-2) + (m-2) = (m^2 + 1)(m-2) \geq 0\), так как \(m^2 + 1 > 0\) и \(m-2 \geq 0\).

1) Доказать неравенство \(a^3 — b^2 \geq ab(b — a)\), если \(a \geq b\).

Найдём разность левой и правой частей:
\((a^3 — b^3) — ab(b — a) = a^3 — b^3 — ab^2 + a^2 b\).

Перегруппируем слагаемые:
\(= a^3 — b^3 — ab^2 + a^2 b = a^2(a + b) — b^2(a + b)\).

Вынесем общий множитель:
\(= (a^2 — b^2)(a + b)\).

Разложим разность квадратов:
\(= (a — b)(a + b)(a + b) = (a — b)(a + b)^2\).

Так как \(a \geq b\), то \(a — b \geq 0\), а \((a + b)^2 \geq 0\) для любых \(a, b\).
Значит произведение неотрицательно:
\((a — b)(a + b)^2 \geq 0\).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство \(m^3 — 2m^2 + m — 2 \geq 0\), если \(m \geq 2\).

Преобразуем левую часть:
\(m^3 — 2m^2 + m — 2 = m^2(m — 2) + (m — 2)\).

Вынесем общий множитель:
\(= (m^2 + 1)(m — 2)\).

При любом \(m\) выражение \(m^2 + 1 > 0\).
При \(m \geq 2\) имеем \(m — 2 \geq 0\).
Значит произведение неотрицательно:
\((m^2 + 1)(m — 2) \geq 0\).

Что и требовалось доказать.