Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 50 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(x\) значения функции \(y = x(1 — \sqrt{2})\) принадлежат промежутку \([4 — 4\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2}]\)?
Для функции \( y = x(1 — \sqrt{2}) \) и промежутка \( [4 — 4\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2}] \):
Решаем неравенства:
\( 4 — 4\sqrt{2} \leq x(1 — \sqrt{2}) \leq 3 — 3\sqrt{2} \).
Так как \(1 — \sqrt{2} < 0\), при делении на это число знак неравенства меняется: \( \frac{4 - 4\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \geq x \geq \frac{3 - 3\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \). Вычисляем: \(\frac{4 - 4\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = 4\), \(\frac{3 - 3\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = 3\). Ответ: \( x \in [3; 4] \).
Рассмотрим функцию \(y = x(1 — \sqrt{2})\) и заданный промежуток для \(y\), который равен \([4 — 4\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2}]\). Нам необходимо найти множество значений \(x\), при которых значение функции \(y\) лежит в этом промежутке. Для этого нужно решить двойное неравенство:
\(4 — 4\sqrt{2} \leq x(1 — \sqrt{2}) \leq 3 — 3\sqrt{2}\).
Первым шагом определим знак множителя \(1 — \sqrt{2}\). Число \(\sqrt{2}\) приблизительно равно 1.414, следовательно, \(1 — \sqrt{2} < 0\). Это важный момент, так как при делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Это правило критично для правильного решения. Теперь рассмотрим левую часть двойного неравенства: \(4 - 4\sqrt{2} \leq x(1 - \sqrt{2})\). Чтобы выразить \(x\), разделим обе части неравенства на \(1 - \sqrt{2}\). Поскольку делим на отрицательное число, знак неравенства изменится: \(x \leq \frac{4 - 4\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}\). Вычислим дробь: умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(1 + \sqrt{2}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \(\frac{4 - 4\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{(4 - 4\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}\). В знаменателе получаем разность квадратов: \(1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1\). В числителе раскроем скобки: \(4 \cdot 1 + 4 \cdot \sqrt{2} - 4\sqrt{2} \cdot 1 - 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4\). Таким образом, дробь равна: \(\frac{-4}{-1} = 4\). Значит, из левой части неравенства следует: \(x \leq 4\). Аналогично для правой части: \(x(1 - \sqrt{2}) \leq 3 - 3\sqrt{2}\). Делим обе части на \(1 - \sqrt{2}\), меняя знак неравенства: \(x \geq \frac{3 - 3\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}\). Вычислим дробь аналогично предыдущему шагу: \(\frac{3 - 3\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{(3 - 3\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{-1}\). В числителе раскрываем скобки: \(3 \cdot 1 + 3 \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot 1 - 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3\). Делим на \(-1\): \(\frac{-3}{-1} = 3\). Значит, из правой части неравенства следует: \(x \geq 3\). В итоге получаем объединённое неравенство: \(3 \leq x \leq 4\), то есть \(x \in [3; 4]\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.