ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 50 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) значения функции \(y = x(1 — \sqrt{2})\) принадлежат промежутку \([4 — 4\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2}]\)?

Для функции \( y = x(1 — \sqrt{2}) \) и промежутка \( [4 — 4\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2}] \):

Решаем неравенства:

\( 4 — 4\sqrt{2} \leq x(1 — \sqrt{2}) \leq 3 — 3\sqrt{2} \).

Так как \(1 — \sqrt{2} < 0\), при делении на это число знак неравенства меняется:

\( \frac{4 — 4\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}} \geq x \geq \frac{3 — 3\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}} \).

Вычисляем:

\(\frac{4 — 4\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}} = 4\),

\(\frac{3 — 3\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}} = 3\).

Ответ: \( x \in [3; 4] \).

Рассмотрим функцию \(y = x(1 — \sqrt{2})\) и заданный промежуток для \(y\), который равен \([4 — 4\sqrt{2}; 3 — 3\sqrt{2}]\). Нам необходимо найти множество значений \(x\), при которых значение функции \(y\) лежит в этом промежутке. Для этого нужно решить двойное неравенство:
\(4 — 4\sqrt{2} \leq x(1 — \sqrt{2}) \leq 3 — 3\sqrt{2}\).

Первым шагом определим знак множителя \(1 — \sqrt{2}\). Число \(\sqrt{2}\) приблизительно равно 1.414, следовательно, \(1 — \sqrt{2} < 0\). Это важный момент, так как при делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Это правило критично для правильного решения.

Теперь рассмотрим левую часть двойного неравенства:
\(4 — 4\sqrt{2} \leq x(1 — \sqrt{2})\).
Чтобы выразить \(x\), разделим обе части неравенства на \(1 — \sqrt{2}\). Поскольку делим на отрицательное число, знак неравенства изменится:
\(x \leq \frac{4 — 4\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}}\).
Вычислим дробь: умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(1 + \sqrt{2}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
\(\frac{4 — 4\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{(4 — 4\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{(1 — \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}\).
В знаменателе получаем разность квадратов:
\(1^2 — (\sqrt{2})^2 = 1 — 2 = -1\).
В числителе раскроем скобки:
\(4 \cdot 1 + 4 \cdot \sqrt{2} — 4\sqrt{2} \cdot 1 — 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} — 4\sqrt{2} — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4\).
Таким образом, дробь равна:
\(\frac{-4}{-1} = 4\).
Значит, из левой части неравенства следует:
\(x \leq 4\).

Аналогично для правой части:
\(x(1 — \sqrt{2}) \leq 3 — 3\sqrt{2}\).
Делим обе части на \(1 — \sqrt{2}\), меняя знак неравенства:
\(x \geq \frac{3 — 3\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}}\).
Вычислим дробь аналогично предыдущему шагу:
\(\frac{3 — 3\sqrt{2}}{1 — \sqrt{2}} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{(3 — 3\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{-1}\).
В числителе раскрываем скобки:
\(3 \cdot 1 + 3 \cdot \sqrt{2} — 3\sqrt{2} \cdot 1 — 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 + 3\sqrt{2} — 3\sqrt{2} — 3 \cdot 2 = 3 — 6 = -3\).
Делим на \(-1\):
\(\frac{-3}{-1} = 3\).
Значит, из правой части неравенства следует:
\(x \geq 3\).

В итоге получаем объединённое неравенство:
\(3 \leq x \leq 4\),
то есть
\(x \in [3; 4]\).