ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 52 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
1) \(\sqrt{5x — 11} + \sqrt{2x — 7}\);
2) \(\sqrt{3x + 5} + \frac{1}{\sqrt{8 — 5x}}\);
3) \(\sqrt{3x — 8} + \sqrt{1 — x}\)?

1) Выражение имеет смысл при
\(5x — 11 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{11}{5}\)
и
\(2x — 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{7}{2}\).
Ответ: \(x \geq \frac{7}{2}\).

2) Выражение имеет смысл при
\(3x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{5}{3}\),
и
\(8 — 5x > 0 \Rightarrow x < \frac{8}{5}\). Ответ: \(-\frac{5}{3} \leq x < \frac{8}{5}\). 3) Выражение имеет смысл при \(3x - 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{8}{3}\), и \(1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1\). Ответ: \(x \in \emptyset\) (нет таких значений).

1) Рассмотрим выражение \( \sqrt{5x — 11} + \sqrt{2x — 7} \).

Для того чтобы корни имели смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательны.

Для первого корня:
\(5x — 11 \geq 0\),
отсюда \(5x \geq 11\),
значит \(x \geq \frac{11}{5}\),
то есть \(x \geq 2{,}2\).

Для второго корня:
\(2x — 7 \geq 0\),
отсюда \(2x \geq 7\),
значит \(x \geq \frac{7}{2}\),
то есть \(x \geq 3{,}5\).

Чтобы выражение имело смысл, \(x\) должно удовлетворять обоим условиям одновременно, то есть
\(x \geq 3{,}5\).

Ответ: \(x \geq 3{,}5\).

2) Рассмотрим выражение \( \sqrt{3x + 5} + \frac{1}{\sqrt{8 — 5x}} \).

Для первого слагаемого:
\(3x + 5 \geq 0\),
отсюда \(3x \geq -5\),
значит \(x \geq -\frac{5}{3}\),
то есть \(x \geq -1\frac{2}{3}\).

Для второго слагаемого подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительно:
\(8 — 5x > 0\),
отсюда \(8 > 5x\),
значит \(x < \frac{8}{5}\), то есть \(x < 1{,}6\). Объединяя условия, получаем: \(-1\frac{2}{3} \leq x < 1{,}6\). Ответ: \(-1\frac{2}{3} \leq x < 1{,}6\). 3) Рассмотрим выражение \( \sqrt{3x - 8} + \sqrt{1 - x} \). Для первого корня: \(3x - 8 \geq 0\), отсюда \(3x \geq 8\), значит \(x \geq \frac{8}{3}\), то есть \(x \geq 2\frac{2}{3}\). Для второго корня: \(1 - x \geq 0\), отсюда \(x \leq 1\). Так как \(x\) не может одновременно быть больше или равно \(2\frac{2}{3}\) и меньше или равно 1, множество значений \(x\), при которых выражение имеет смысл, пусто. Ответ: \(x \in \emptyset\).