ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 54 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(|x| < 5\);
2) \(|x + 1| \leq 3,1\);
3) \(|5x — 4| \leq 3\);
4) \(|18 — 7x| < 4\).

1) \(|x| < 5\)
\(-5 < x < 5\)
Ответ: \(x \in (-5; 5)\)

2) \(|x + 1| \leq 3,1\)
\(-3,1 \leq x + 1 \leq 3,1\)
\(-4,1 \leq x \leq 2,1\)
Ответ: \(x \in [-4,1; 2,1]\)

3) \(|5x — 4| \leq 3\)
\(-3 \leq 5x — 4 \leq 3\)
\(1 \leq 5x \leq 7\)
\(\frac{1}{5} \leq x \leq \frac{7}{5}\)
Ответ: \(x \in \left[\frac{1}{5}; \frac{7}{5}\right]\)

4) \(|18 — 7x| < 4\)
\(-4 < 18 — 7x < 4\)
\(-22 < -7x < -14\)
\(14 < 7x < 22\)
\(\frac{14}{7} < x < \frac{22}{7}\)
\(2 < x < \frac{22}{7}\)
Ответ: \(x \in \left(2; \frac{22}{7}\right)\)

1) Неравенство \( |x| < 5 \) означает, что расстояние числа \( x \) от нуля на числовой оси меньше 5. Абсолютное значение показывает именно это расстояние, поэтому нам нужно найти все такие \( x \), которые находятся ближе чем на 5 единиц от нуля. По определению модуля, неравенство \( |x| < 5 \) эквивалентно двойному неравенству \( -5 < x < 5 \). Это значит, что \( x \) может принимать любое значение строго между -5 и 5, но не равное этим границам, так как знак строго меньше. Таким образом, множество решений — это открытый интервал от -5 до 5.

Ответ записывается как \( x \in (-5; 5) \), где круглые скобки указывают, что границы не включены в решение. Этот интервал содержит все числа, которые при подстановке в исходное неравенство сделают его истинным. Например, \( x = 0 \) подходит, так как \( |0| = 0 < 5 \), а \( x = 5 \) не подходит, так как \( |5| = 5 \) не меньше 5.

2) Рассмотрим неравенство \( |x + 1| \leq 3,1 \). Абсолютное значение выражения \( x + 1 \) показывает расстояние точки \( x \) от числа -1 на числовой оси (потому что внутри модуля стоит \( x + 1 \), что равно \( x — (-1) \)). Значит, нам нужно найти все \( x \), для которых расстояние от -1 не превышает 3,1. По свойству модуля, это неравенство эквивалентно двойному неравенству: \( -3,1 \leq x + 1 \leq 3,1 \).

Чтобы найти \( x \), вычтем 1 из всех частей этого неравенства: \( -3,1 — 1 \leq x \leq 3,1 — 1 \), что даёт \( -4,1 \leq x \leq 2,1 \). Здесь знак «меньше или равно» говорит, что границы включены в решение, так как равенства разрешены. Итого, множество решений — это закрытый интервал от -4,1 до 2,1.

Ответ записывается как \( x \in [-4,1; 2,1] \). В этом интервале любые значения \( x \) при подстановке в исходное неравенство дадут истинное утверждение. Например, при \( x = -4,1 \) имеем \( |-4,1 + 1| = |-3,1| = 3,1 \), что соответствует границе допустимого значения.

3) Неравенство \( |5x — 4| \leq 3 \) говорит, что расстояние выражения \( 5x — 4 \) от нуля не больше 3. Аналогично предыдущим случаям, это равносильно двойному неравенству \( -3 \leq 5x — 4 \leq 3 \). Чтобы решить его, сначала прибавим 4 ко всем частям: \( -3 + 4 \leq 5x \leq 3 + 4 \), что даёт \( 1 \leq 5x \leq 7 \).

Теперь разделим каждую часть на 5, чтобы выразить \( x \): \( \frac{1}{5} \leq x \leq \frac{7}{5} \). Здесь знак «меньше или равно» сохраняется, так как деление на положительное число не меняет направление неравенств. Получаем, что \( x \) лежит в интервале от \( \frac{1}{5} \) до \( \frac{7}{5} \) включительно.

Ответ: \( x \in \left[\frac{1}{5}; \frac{7}{5}\right] \). Все значения \( x \) из этого интервала при подстановке в исходное неравенство удовлетворяют условию, например, при \( x = \frac{1}{5} \) имеем \( |5 \cdot \frac{1}{5} — 4| = |1 — 4| = 3 \).

4) Рассмотрим неравенство \( |18 — 7x| < 4 \). Здесь абсолютное значение показывает расстояние выражения \( 18 — 7x \) от нуля, и оно должно быть строго меньше 4. По определению модуля, это эквивалентно двойному неравенству \( -4 < 18 — 7x < 4 \).

Для решения сначала вычтем 18 из всех частей: \( -4 — 18 < -7x < 4 — 18 \), то есть \( -22 < -7x < -14 \). Теперь разделим на -7, меняя направление неравенств, так как делим на отрицательное число: \( \frac{22}{7} > x > 2 \), что эквивалентно \( 2 < x < \frac{22}{7} \). Здесь знак строгого неравенства сохраняется, так как исходное было строгое.

Ответ: \( x \in \left(2; \frac{22}{7}\right) \). Этот интервал содержит все \( x \), при которых исходное неравенство истинно. Например, при \( x = 2 \) значение модуля равно 4, что не удовлетворяет строгому неравенству, а при \( x = 3 \) значение модуля меньше 4.