ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 56 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(|x| + |x — 6| = 8\);

2) \(|x + 2| + |x — 5| = 7\);

3) \(|x — 1| — |x — 7| = 8\);

4) \(|3x + 1| — |x — 4| = 2x — 3\).

1. \(|x| + |x — 6| = 8\)

Числа под знаком модуля: \(x \ge 0\) и \(x — 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6\).

Случай 1: Если \(x \ge 6\), тогда:
\(x + (x — 6) = 8\)
\(2x — 6 = 8\)
\(2x = 14\)
\(x = 7\)

Случай 2: Если \(0 \le x < 6\), тогда:
\(x — (x — 6) = 8\)
\(x — x + 6 = 8\)
\(6 = 8\) — неверно, решений нет.

Случай 3: Если \(x < 0\), тогда:
\(-x — (x — 6) = 8\)
\(-x — x + 6 = 8\)
\(-2x + 6 = 8\)
\(-2x = 2\)
\(x = -1\)

Ответ: \(-1; 7\)

2. \(|x + 2| + |x — 5| = 7\)

Числа под знаком модуля: \(x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2\) и \(x — 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\).

Случай 1: Если \(x \ge 5\), тогда:
\((x + 2) + (x — 5) = 7\)
\(2x — 3 = 7\)
\(2x = 10\)
\(x = 5\)

Случай 2: Если \(-2 \le x < 5\), тогда:
\((x + 2) — (x — 5) = 7\)
\(x + 2 — x + 5 = 7\)
\(7 = 7\) — верно для всех \(x\) в этом интервале.

Случай 3: Если \(x < -2\), тогда:
\(-(x + 2) — (x — 5) = 7\)
\(-x — 2 — x + 5 = 7\)
\(-2x + 3 = 7\)
\(-2x = 4\)
\(x = -2\)

Объединяя случаи, получаем \(x \in [-2; 5]\).

Ответ: \(x \in [-2; 5]\)

3. \(|x — 1| — |x — 7| = 8\)

Числа под знаком модуля: \(x — 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\) и \(x — 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7\).

Случай 1: Если \(x \ge 7\), тогда:
\((x — 1) — (x — 7) = 8\)
\(x — 1 — x + 7 = 8\)
\(6 = 8\) — неверно, решений нет.

Случай 2: Если \(1 \le x < 7\), тогда:
\((x — 1) + (x — 7) = 8\)
\(2x — 8 = 8\)
\(2x = 16\)
\(x = 8\) — не входит в интервал \(1 \le x < 7\).

Случай 3: Если \(x < 1\), тогда:
\(-(x — 1) + (x — 7) = 8\)
\(-x + 1 + x — 7 = 8\)
\(-6 = 8\) — неверно, решений нет.

Ответ: Корней нет, \(x \in \emptyset\)

4. \(|3x + 1| — |x — 4| = 2x — 3\)

Числа под знаком модуля: \(3x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{1}{3}\) и \(x — 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4\).

Случай 1: Если \(x \ge 4\), тогда:
\((3x + 1) — (x — 4) = 2x — 3\)
\(3x + 1 — x + 4 = 2x — 3\)
\(2x + 5 = 2x — 3\)
\(5 = -3\) — неверно, решений нет.

Случай 2: Если \(-\frac{1}{3} \le x < 4\), тогда:
\((3x + 1) + (x — 4) = 2x — 3\)
\(4x — 3 = 2x — 3\)
\(2x = 0\)
\(x = 0\)

Случай 3: Если \(x < -\frac{1}{3}\), тогда:
\(-(3x + 1) + (x — 4) = 2x — 3\)
\(-3x — 1 + x — 4 = 2x — 3\)
\(-2x — 5 = 2x — 3\)
\(-4x = 2\)
\(x = -\frac{1}{2}\)

Ответ: \(-\frac{1}{2}; 0\)

1) Уравнение \( |x| + |x — 6| = 8 \).
Рассматриваем случаи:
— Если \(x \leq 0\), тогда \( |x| = -x \), \( |x-6| = 6 — x \), сумма \( -x + 6 — x = 6 — 2x = 8 \Rightarrow x = -1 \).
— Если \(0 \leq x \leq 6\), тогда \( |x| = x \), \( |x-6| = 6 — x \), сумма \( x + 6 — x = 6 \neq 8 \).
— Если \(x \geq 6\), тогда \( |x| = x \), \( |x-6| = x — 6 \), сумма \( x + x — 6 = 2x — 6 = 8 \Rightarrow x = 7 \).
Ответ: \(x = -1; 7\).

2) Уравнение \( |x + 2| + |x — 5| = 7 \).
Рассматриваем интервалы:
— Для \(x \leq -2\), сумма равна \(-(x+2) — (x-5) = -x-2 — x + 5 = 3 — 2x\). Решаем \(3 — 2x = 7 \Rightarrow x = -2\).
— Для \(-2 \leq x \leq 5\), сумма равна \((x+2) — (x-5) = x+2 — x + 5 = 7\), верно для всех \(x\) в этом промежутке.
— Для \(x \geq 5\), сумма равна \((x+2) + (x-5) = 2x — 3\). Решаем \(2x — 3 = 7 \Rightarrow x = 5\).
Ответ: \(x \in [-2; 5]\).

3) Уравнение \( |x — 1| — |x — 7| = 8 \).
Рассматриваем интервалы:
— Для \(x \leq 1\), \( |x-1| = 1 — x\), \( |x-7| = 7 — x\), разность \(1 — x — (7 — x) = 1 — x — 7 + x = -6 \neq 8\).
— Для \(1 \leq x \leq 7\), разность \((x — 1) — (7 — x) = x — 1 — 7 + x = 2x — 8\). Решаем \(2x — 8 = 8 \Rightarrow x = 8\), но \(8 \notin [1;7]\).
— Для \(x \geq 7\), разность \((x — 1) — (x — 7) = x — 1 — x + 7 = 6 \neq 8\).
Ответ: корней нет, \(x \in \emptyset\).

4) Уравнение \( |3x + 1| — |x — 4| = 2x — 3 \).
Рассматриваем интервалы:
— Если \(x \leq -\frac{1}{3}\), \( |3x + 1| = -(3x + 1) = -3x — 1\).
— Если \(-\frac{1}{3} \leq x \leq 4\), \( |3x + 1| = 3x + 1\), \( |x — 4| = 4 — x\).
— Если \(x \geq 4\), \( |x — 4| = x — 4\).

Проверяем решения:
— При \(x \leq -\frac{1}{3}\), уравнение \(-3x — 1 — |x — 4| = 2x — 3\). Для \(x \leq -\frac{1}{3}\), \(x — 4 \leq 0\), значит \( |x — 4| = 4 — x\). Тогда
\(-3x — 1 — (4 — x) = 2x — 3 \Rightarrow -3x — 1 — 4 + x = 2x — 3 \Rightarrow -2x — 5 =\)
\(= 2x — 3 \Rightarrow -2x — 5 — 2x + 3 = 0 \Rightarrow -4x — 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\).
Проверяем принадлежность: \(-\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{3}\) — верно. Значит \(x = -\frac{1}{2}\) — решение.

— При \(-\frac{1}{3} \leq x \leq 4\), уравнение \(3x + 1 — (4 — x) = 2x — 3\), то есть
\(3x + 1 — 4 + x = 2x — 3 \Rightarrow 4x — 3 = 2x — 3 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\).
Проверяем принадлежность: \(0 \in [-\frac{1}{3}; 4]\) — верно, значит \(x=0\) — решение.

— При \(x \geq 4\), уравнение \(3x + 1 — (x — 4) = 2x — 3\), то есть
\(3x + 1 — x + 4 = 2x — 3 \Rightarrow 2x + 5 = 2x — 3\), что невозможно.

Ответ: \(x = -\frac{1}{2}; 0\).