ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 56 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(|x| + |x — 6| = 8\);

2) \(|x + 2| + |x — 5| = 7\);

3) \(|x — 1| — |x — 7| = 8\);

4) \(|3x + 1| — |x — 4| = 2x — 3\).

1) \(x = -1; 7\)
2) \(x \in [-2; 5]\)
3) Корней нет, \(x \in \emptyset\)
4) \(x = -\frac{1}{2}; 0\)

1. \(|x| + |x — 6| = 8\)

Числа под знаком модуля: \(x \ge 0\) и \(x — 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 6\).

Случай 1: Если \(x \ge 6\), тогда:
\(x + (x — 6) = 8\)
\(2x — 6 = 8\)
\(2x = 14\)
\(x = 7\)

Случай 2: Если \(0 \le x < 6\), тогда:
\(x — (x — 6) = 8\)
\(x — x + 6 = 8\)
\(6 = 8\) — неверно, решений нет.

Случай 3: Если \(x < 0\), тогда:
\(-x — (x — 6) = 8\)
\(-x — x + 6 = 8\)
\(-2x + 6 = 8\)
\(-2x = 2\)
\(x = -1\)

Ответ: \(-1; 7\)

2. \(|x + 2| + |x — 5| = 7\)

Числа под знаком модуля: \(x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2\) и \(x — 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\).

Случай 1: Если \(x \ge 5\), тогда:
\((x + 2) + (x — 5) = 7\)
\(2x — 3 = 7\)
\(2x = 10\)
\(x = 5\)

Случай 2: Если \(-2 \le x < 5\), тогда:
\((x + 2) — (x — 5) = 7\)
\(x + 2 — x + 5 = 7\)
\(7 = 7\) — верно для всех \(x\) в этом интервале.

Случай 3: Если \(x < -2\), тогда:
\(-(x + 2) — (x — 5) = 7\)
\(-x — 2 — x + 5 = 7\)
\(-2x + 3 = 7\)
\(-2x = 4\)
\(x = -2\)

Объединяя случаи, получаем \(x \in [-2; 5]\).

Ответ: \(x \in [-2; 5]\)

3. \(|x — 1| — |x — 7| = 8\)

Числа под знаком модуля: \(x — 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\) и \(x — 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7\).

Случай 1: Если \(x \ge 7\), тогда:
\((x — 1) — (x — 7) = 8\)
\(x — 1 — x + 7 = 8\)
\(6 = 8\) — неверно, решений нет.

Случай 2: Если \(1 \le x < 7\), тогда:
\((x — 1) + (x — 7) = 8\)
\(2x — 8 = 8\)
\(2x = 16\)
\(x = 8\) — не входит в интервал \(1 \le x < 7\).

Случай 3: Если \(x < 1\), тогда:
\(-(x — 1) + (x — 7) = 8\)
\(-x + 1 + x — 7 = 8\)
\(-6 = 8\) — неверно, решений нет.

Ответ: Корней нет, \(x \in \emptyset\)

4. \(|3x + 1| — |x — 4| = 2x — 3\)

Числа под знаком модуля: \(3x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{1}{3}\) и \(x — 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4\).

Случай 1: Если \(x \ge 4\), тогда:
\((3x + 1) — (x — 4) = 2x — 3\)
\(3x + 1 — x + 4 = 2x — 3\)
\(2x + 5 = 2x — 3\)
\(5 = -3\) — неверно, решений нет.

Случай 2: Если \(-\frac{1}{3} \le x < 4\), тогда:
\((3x + 1) + (x — 4) = 2x — 3\)
\(4x — 3 = 2x — 3\)
\(2x = 0\)
\(x = 0\)

Случай 3: Если \(x < -\frac{1}{3}\), тогда:
\(-(3x + 1) + (x — 4) = 2x — 3\)
\(-3x — 1 + x — 4 = 2x — 3\)
\(-2x — 5 = 2x — 3\)
\(-4x = 2\)
\(x = -\frac{1}{2}\)

Ответ: \(-\frac{1}{2}; 0\)