ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 57 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x + 4| + 2x \geq 7\);

2) \(|x — 3| — 2x < 9\);

3) \(|x + 5| + |x — 3| \leq 8\);

4) \(|x + 4| + |x — 2| > 6\);

5) \(|x + 3,5| — |x — 2,5| \leq 5\);

6) \(|4x + 3| — |x — 2| > 3\).

1) \(x \in [1; +\infty)\)
2) \(x \in (-2; +\infty)\)
3) \(x \in [-5; 3]\)
4) \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty)\)
5) \(x \in (-\infty; 2]\)
6) \(x \in (-\frac{2}{3}; +\infty)\)

1) Решаем неравенство \( |x + 4| + 2x \geq 7 \).
Число под знаком модуля: \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \).
Если \( x \geq -4 \), тогда \( (x + 4) + 2x \geq 7 \Rightarrow 3x + 4 \geq 7 \Rightarrow 3x \geq 3 \Rightarrow x \geq 1 \).
Если \( x < -4 \), тогда \( -(x + 4) + 2x \geq 7 \Rightarrow -x — 4 + 2x \geq 7 \Rightarrow x — 4 \geq 7 \Rightarrow x \geq 11 \), что противоречит \( x < -4 \).
Ответ: \( x \in [1; +\infty) \).

2) Решаем неравенство \( |x — 3| — 2x < 9 \).
Число под знаком модуля: \( x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \).
Если \( x \geq 3 \), тогда \( (x — 3) — 2x < 9 \Rightarrow -x — 3 < 9 \Rightarrow -x < 12 \Rightarrow x > -12 \) (все \( x \geq 3 \) подходят).
Если \( x < 3 \), тогда \( -(x — 3) — 2x < 9 \Rightarrow -x + 3 — 2x < 9 \Rightarrow -3x + 3 < 9 \Rightarrow \)
\(-3x < 6 \Rightarrow x > -2 \).
Ответ: \( x \in (-2; +\infty) \).

3) Решаем неравенство \( |x + 5| + |x — 3| \leq 8 \).
Числа под знаком модуля: \( x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5 \), \( x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \).
Если \( x \geq 3 \), тогда \( (x + 5) + (x — 3) \leq 8 \Rightarrow 2x + 2 \leq 8 \Rightarrow 2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3 \).
Если \( -5 \leq x < 3 \), тогда \( (x + 5) — (x — 3) \leq 8 \Rightarrow 8 \leq 8 \) — верно для всех \( x \) из этого промежутка.
Если \( x < -5 \), тогда \( -(x + 5) — (x — 3) \leq 8 \Rightarrow -x — 5 — x + 3 \leq 8 \Rightarrow -2x — 2 \leq 8 \Rightarrow \)
\(-2x \leq 10 \Rightarrow x \geq -5 \), что противоречит \( x < -5 \).
Ответ: \( x \in [-5; 3] \).

4) Решаем неравенство \( |x + 4| + |x — 2| > 6 \).
Числа под знаком модуля: \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \), \( x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \).
Если \( x \geq 2 \), тогда \( (x + 4) + (x — 2) > 6 \Rightarrow 2x + 2 > 6 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2 \).
Если \( -4 \leq x < 2 \), тогда \( (x + 4) — (x — 2) > 6 \Rightarrow 6 > 6 \), что неверно.
Если \( x < -4 \), тогда \( -(x + 4) — (x — 2) > 6 \Rightarrow -x — 4 — x + 2 > 6 \Rightarrow -2x — 2 > 6 \Rightarrow \)
\(-2x > 8 \Rightarrow x < -4 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \).

5) Решаем неравенство \( |x + 3,5| — |x — 2,5| \leq 5 \).
Числа под знаком модуля: \( x + 3,5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3,5 \), \( x — 2,5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2,5 \).
Если \( x \geq 2,5 \), тогда \( (x + 3,5) — (x — 2,5) \leq 5 \Rightarrow 6 \leq 5 \), что невозможно.
Если \( -3,5 \leq x < 2,5 \), тогда \( (x + 3,5) + (x — 2,5) \leq 5 \Rightarrow 2x + 1 \leq 5 \Rightarrow 2x \leq 4 \Rightarrow x \leq 2 \).
Если \( x < -3,5 \), тогда \( -(x + 3,5) + (x — 2,5) \leq 5 \Rightarrow -3,5 \leq x \leq 2 \) (все \( x < -3,5 \) подходят).
Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \).

6) Решаем неравенство \( |4x + 3| — |x — 2| > 3 \).
Числа под знаком модуля: \( 4x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{4} \), \( x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \).
Если \( x \geq 2 \), тогда \( (4x + 3) — (x — 2) > 3 \Rightarrow 3x + 5 > 3 \Rightarrow 3x > -2 \Rightarrow x > -\frac{2}{3} \) (все \( x \geq 2 \) подходят).
Если \( -\frac{3}{4} \leq x < 2 \), тогда \( (4x + 3) + (x — 2) > 3 \Rightarrow 5x + 1 > 3 \Rightarrow 5x > 2 \Rightarrow x > 0,4 \).
Если \( x < -\frac{3}{4} \), тогда \( -(4x + 3) + (x — 2) > 3 \Rightarrow -3x — 5 > 3 \Rightarrow -3x > 8 \Rightarrow x < -\frac{8}{3} \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{8}{3}) \cup (0,4; +\infty) \).