ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 57 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x + 4| + 2x \geq 7\);

2) \(|x — 3| — 2x < 9\);

3) \(|x + 5| + |x — 3| \leq 8\);

4) \(|x + 4| + |x — 2| > 6\);

5) \(|x + 3,5| — |x — 2,5| \leq 5\);

6) \(|4x + 3| — |x — 2| > 3\).

1) Решаем неравенство \( |x + 4| + 2x \geq 7 \).
Число под знаком модуля: \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \).
Если \( x \geq -4 \), тогда \( (x + 4) + 2x \geq 7 \Rightarrow 3x + 4 \geq 7 \Rightarrow 3x \geq 3 \Rightarrow x \geq 1 \).
Если \( x < -4 \), тогда \( -(x + 4) + 2x \geq 7 \Rightarrow -x — 4 + 2x \geq 7 \Rightarrow x — 4 \geq 7 \Rightarrow x \geq 11 \), что противоречит \( x < -4 \).
Ответ: \( x \in [1; +\infty) \).

2) Решаем неравенство \( |x — 3| — 2x < 9 \).
Число под знаком модуля: \( x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \).
Если \( x \geq 3 \), тогда \( (x — 3) — 2x < 9 \Rightarrow -x — 3 < 9 \Rightarrow -x < 12 \Rightarrow x > -12 \) (все \( x \geq 3 \) подходят).
Если \( x < 3 \), тогда \( -(x — 3) — 2x < 9 \Rightarrow -x + 3 — 2x < 9 \Rightarrow -3x + 3 < 9 \Rightarrow \)
\(-3x < 6 \Rightarrow x > -2 \).
Ответ: \( x \in (-2; +\infty) \).

3) Решаем неравенство \( |x + 5| + |x — 3| \leq 8 \).
Числа под знаком модуля: \( x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5 \), \( x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \).
Если \( x \geq 3 \), тогда \( (x + 5) + (x — 3) \leq 8 \Rightarrow 2x + 2 \leq 8 \Rightarrow 2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3 \).
Если \( -5 \leq x < 3 \), тогда \( (x + 5) — (x — 3) \leq 8 \Rightarrow 8 \leq 8 \) — верно для всех \( x \) из этого промежутка.
Если \( x < -5 \), тогда \( -(x + 5) — (x — 3) \leq 8 \Rightarrow -x — 5 — x + 3 \leq 8 \Rightarrow -2x — 2 \leq 8 \Rightarrow \)
\(-2x \leq 10 \Rightarrow x \geq -5 \), что противоречит \( x < -5 \).
Ответ: \( x \in [-5; 3] \).

4) Решаем неравенство \( |x + 4| + |x — 2| > 6 \).
Числа под знаком модуля: \( x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4 \), \( x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \).
Если \( x \geq 2 \), тогда \( (x + 4) + (x — 2) > 6 \Rightarrow 2x + 2 > 6 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2 \).
Если \( -4 \leq x < 2 \), тогда \( (x + 4) — (x — 2) > 6 \Rightarrow 6 > 6 \), что неверно.
Если \( x < -4 \), тогда \( -(x + 4) — (x — 2) > 6 \Rightarrow -x — 4 — x + 2 > 6 \Rightarrow -2x — 2 > 6 \Rightarrow \)
\(-2x > 8 \Rightarrow x < -4 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \).

5) Решаем неравенство \( |x + 3,5| — |x — 2,5| \leq 5 \).
Числа под знаком модуля: \( x + 3,5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3,5 \), \( x — 2,5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2,5 \).
Если \( x \geq 2,5 \), тогда \( (x + 3,5) — (x — 2,5) \leq 5 \Rightarrow 6 \leq 5 \), что невозможно.
Если \( -3,5 \leq x < 2,5 \), тогда \( (x + 3,5) + (x — 2,5) \leq 5 \Rightarrow 2x + 1 \leq 5 \Rightarrow 2x \leq 4 \Rightarrow x \leq 2 \).
Если \( x < -3,5 \), тогда \( -(x + 3,5) + (x — 2,5) \leq 5 \Rightarrow -3,5 \leq x \leq 2 \) (все \( x < -3,5 \) подходят).
Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \).

6) Решаем неравенство \( |4x + 3| — |x — 2| > 3 \).
Числа под знаком модуля: \( 4x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{4} \), \( x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \).
Если \( x \geq 2 \), тогда \( (4x + 3) — (x — 2) > 3 \Rightarrow 3x + 5 > 3 \Rightarrow 3x > -2 \Rightarrow x > -\frac{2}{3} \) (все \( x \geq 2 \) подходят).
Если \( -\frac{3}{4} \leq x < 2 \), тогда \( (4x + 3) + (x — 2) > 3 \Rightarrow 5x + 1 > 3 \Rightarrow 5x > 2 \Rightarrow x > 0,4 \).
Если \( x < -\frac{3}{4} \), тогда \( -(4x + 3) + (x — 2) > 3 \Rightarrow -3x — 5 > 3 \Rightarrow -3x > 8 \Rightarrow x < -\frac{8}{3} \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{8}{3}) \cup (0,4; +\infty) \).

1) Решаем неравенство \( |x + 4| + 2x \geq 7 \).

Определяем критическую точку для выражения под знаком модуля. Выражение \( x + 4 \) равно нулю при \( x = -4 \). Эта точка делит числовую ось на два интервала: \( (-\infty; -4) \) и \( [-4; +\infty) \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x \geq -4 \).
В этом случае выражение \( x + 4 \) неотрицательно, поэтому \( |x + 4| = x + 4 \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( (x + 4) + 2x \geq 7 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( 3x + 4 \geq 7 \)
Вычитаем \( 4 \) из обеих частей неравенства:
\( 3x \geq 7 — 4 \)
\( 3x \geq 3 \)
Делим обе части на \( 3 \):
\( x \geq \frac{3}{3} \)
\( x \geq 1 \)
Учитывая условие данного случая \( x \geq -4 \), пересечение \( x \geq -4 \) и \( x \geq 1 \) дает \( x \geq 1 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in [1; +\infty) \).

Случай 2: \( x < -4 \).
В этом случае выражение \( x + 4 \) отрицательно, поэтому \( |x + 4| = -(x + 4) \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( -(x + 4) + 2x \geq 7 \)
Раскрываем скобки:
\( -x — 4 + 2x \geq 7 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( x — 4 \geq 7 \)
Прибавляем \( 4 \) к обеим частям неравенства:
\( x \geq 7 + 4 \)
\( x \geq 11 \)
Учитывая условие данного случая \( x < -4 \), пересечение \( x < -4 \) и \( x \geq 11 \) является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно меньше \( -4 \) и больше или равны \( 11 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in \emptyset \).

Объединяем решения из обоих случаев: \( [1; +\infty) \cup \emptyset = [1; +\infty) \).
Ответ: \( x \in [1; +\infty) \).

2) Решаем неравенство \( |x — 3| — 2x < 9 \).

Определяем критическую точку для выражения под знаком модуля. Выражение \( x — 3 \) равно нулю при \( x = 3 \). Эта точка делит числовую ось на два интервала: \( (-\infty; 3) \) и \( [3; +\infty) \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x \geq 3 \).
В этом случае выражение \( x — 3 \) неотрицательно, поэтому \( |x — 3| = x — 3 \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( (x — 3) — 2x < 9 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( -x — 3 < 9 \)
Прибавляем \( 3 \) к обеим частям неравенства:
\( -x < 9 + 3 \)
\( -x < 12 \) Умножаем обе части на \( -1 \), при этом меняем знак неравенства на противоположный: \( x > -12 \)
Учитывая условие данного случая \( x \geq 3 \), пересечение \( x \geq 3 \) и \( x > -12 \) дает \( x \geq 3 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in [3; +\infty) \).

Случай 2: \( x < 3 \).
В этом случае выражение \( x — 3 \) отрицательно, поэтому \( |x — 3| = -(x — 3) \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( -(x — 3) — 2x < 9 \)
Раскрываем скобки:
\( -x + 3 — 2x < 9 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( -3x + 3 < 9 \)
Вычитаем \( 3 \) из обеих частей неравенства:
\( -3x < 9 — 3 \)
\( -3x < 6 \) Делим обе части на \( -3 \), при этом меняем знак неравенства на противоположный: \( x > \frac{6}{-3} \)
\( x > -2 \)
Учитывая условие данного случая \( x < 3 \), пересечение \( x < 3 \) и \( x > -2 \) дает \( -2 < x < 3 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in (-2; 3) \).

Объединяем решения из обоих случаев: \( [3; +\infty) \cup (-2; 3) = (-2; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-2; +\infty) \).

3) Решаем неравенство \( |x + 5| + |x — 3| \leq 8 \).

Определяем критические точки для выражений под знаком модуля. Выражение \( x + 5 \) равно нулю при \( x = -5 \), а выражение \( x — 3 \) равно нулю при \( x = 3 \). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -5) \), \( [-5; 3) \) и \( [3; +\infty) \).

Рассмотрим три случая:

Случай 1: \( x \geq 3 \).
В этом случае \( x + 5 \geq 0 \) и \( x — 3 \geq 0 \).
Поэтому \( |x + 5| = x + 5 \) и \( |x — 3| = x — 3 \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( (x + 5) + (x — 3) \leq 8 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( 2x + 2 \leq 8 \)
Вычитаем \( 2 \) из обеих частей неравенства:
\( 2x \leq 8 — 2 \)
\( 2x \leq 6 \)
Делим обе части на \( 2 \):
\( x \leq \frac{6}{2} \)
\( x \leq 3 \)
Учитывая условие данного случая \( x \geq 3 \), пересечение \( x \geq 3 \) и \( x \leq 3 \) дает \( x = 3 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x = 3 \).

Случай 2: \( -5 \leq x < 3 \).
В этом случае \( x + 5 \geq 0 \) и \( x — 3 < 0 \).
Поэтому \( |x + 5| = x + 5 \) и \( |x — 3| = -(x — 3) \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( (x + 5) — (x — 3) \leq 8 \)
Раскрываем скобки:
\( x + 5 — x + 3 \leq 8 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( 8 \leq 8 \)
Это утверждение верно для всех \( x \) в данном интервале.
Учитывая условие данного случая \( -5 \leq x < 3 \), все значения из этого интервала являются решениями.
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in [-5; 3) \).

Случай 3: \( x < -5 \).
В этом случае \( x + 5 < 0 \) и \( x — 3 < 0 \).
Поэтому \( |x + 5| = -(x + 5) \) и \( |x — 3| = -(x — 3) \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( -(x + 5) — (x — 3) \leq 8 \)
Раскрываем скобки:
\( -x — 5 — x + 3 \leq 8 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( -2x — 2 \leq 8 \)
Делим обе части на \( -2 \), при этом меняем знак неравенства на противоположный:
\( x \geq \frac{10}{-2} \)
\( x \geq -5 \)
Учитывая условие данного случая \( x < -5 \), пересечение \( x < -5 \) и \( x \geq -5 \) является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно меньше \( -5 \) и больше или равны \( -5 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in \emptyset \).

Объединяем решения из всех трех случаев: \( \{3\} \cup [-5; 3) \cup \emptyset = [-5; 3] \).
Ответ: \( x \in [-5; 3] \).

4) Решаем неравенство \( |x + 4| + |x — 2| > 6 \).

Определяем критические точки для выражений под знаком модуля. Выражение \( x + 4 \) равно нулю при \( x = -4 \), а выражение \( x — 2 \) равно нулю при \( x = 2 \). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -4) \), \( [-4; 2) \) и \( [2; +\infty) \).

Рассмотрим три случая:

Случай 1: \( x \geq 2 \).
В этом случае \( x + 4 \geq 0 \) и \( x — 2 \geq 0 \).
Поэтому \( |x + 4| = x + 4 \) и \( |x — 2| = x — 2 \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( (x + 4) + (x — 2) > 6 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( 2x + 2 > 6 \)
Вычитаем \( 2 \) из обеих частей неравенства:
\( 2x > 6 — 2 \)
\( 2x > 4 \)
Делим обе части на \( 2 \):
\( x > \frac{4}{2} \)
\( x > 2 \)
Учитывая условие данного случая \( x \geq 2 \), пересечение \( x \geq 2 \) и \( x > 2 \) дает \( x > 2 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in (2; +\infty) \).

Случай 2: \( -4 \leq x < 2 \).
В этом случае \( x + 4 \geq 0 \) и \( x — 2 < 0 \). Поэтому \( |x + 4| = x + 4 \) и \( |x — 2| = -(x — 2) \). Исходное неравенство принимает вид: \( (x + 4) — (x — 2) > 6 \)
Раскрываем скобки:
\( x + 4 — x + 2 > 6 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( 6 > 6 \)
Это утверждение является ложным.
Таким образом, для этого случая нет решений: \( x \in \emptyset \).

Случай 3: \( x < -4 \).
В этом случае \( x + 4 < 0 \) и \( x — 2 < 0 \). Поэтому \( |x + 4| = -(x + 4) \) и \( |x — 2| = -(x — 2) \). Исходное неравенство принимает вид: \( -(x + 4) — (x — 2) > 6 \)
Раскрываем скобки:
\( -x — 4 — x + 2 > 6 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( -2x — 2 > 6 \)
Прибавляем \( 2 \) к обеим частям неравенства:
\( -2x > 6 + 2 \)
\( -2x > 8 \)
Делим обе части на \( -2 \), при этом меняем знак неравенства на противоположный:
\( x < \frac{8}{-2} \)
\( x < -4 \)
Учитывая условие данного случая \( x < -4 \), пересечение \( x < -4 \) и \( x < -4 \) дает \( x < -4 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in (-\infty; -4) \).

Объединяем решения из всех трех случаев: \( (2; +\infty) \cup \emptyset \cup (-\infty; -4) = (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (2; +\infty) \).

5) Решаем неравенство \( |x + 3,5| — |x — 2,5| \leq 5 \).

Определяем критические точки для выражений под знаком модуля. Выражение \( x + 3,5 \) равно нулю при \( x = -3,5 \), а выражение \( x — 2,5 \) равно нулю при \( x = 2,5 \). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -3,5) \), \( [-3,5; 2,5) \) и \( [2,5; +\infty) \).

Рассмотрим три случая:

Случай 1: \( x \geq 2,5 \).
В этом случае \( x + 3,5 \geq 0 \) и \( x — 2,5 \geq 0 \).
Поэтому \( |x + 3,5| = x + 3,5 \) и \( |x — 2,5| = x — 2,5 \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( (x + 3,5) — (x — 2,5) \leq 5 \)
Раскрываем скобки:
\( x + 3,5 — x + 2,5 \leq 5 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( 6 \leq 5 \)
Это утверждение является ложным.
Таким образом, для этого случая нет решений: \( x \in \emptyset \).

Случай 2: \( -3,5 \leq x < 2,5 \).
В этом случае \( x + 3,5 \geq 0 \) и \( x — 2,5 < 0 \).
Поэтому \( |x + 3,5| = x + 3,5 \) и \( |x — 2,5| = -(x — 2,5) \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( (x + 3,5) — (-(x — 2,5)) \leq 5 \)
\( (x + 3,5) + (x — 2,5) \leq 5 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( 2x + 1 \leq 5 \)
Вычитаем \( 1 \) из обеих частей неравенства:
\( 2x \leq 5 — 1 \)
\( 2x \leq 4 \)
Делим обе части на \( 2 \):
\( x \leq \frac{4}{2} \)
\( x \leq 2 \)
Учитывая условие данного случая \( -3,5 \leq x < 2,5 \), пересечение \( -3,5 \leq x < 2,5 \) и \( x \leq 2 \) дает \( -3,5 \leq x \leq 2 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in [-3,5; 2] \).

Случай 3: \( x < -3,5 \).
В этом случае \( x + 3,5 < 0 \) и \( x — 2,5 < 0 \).
Поэтому \( |x + 3,5| = -(x + 3,5) \) и \( |x — 2,5| = -(x — 2,5) \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( -(x + 3,5) — (-(x — 2,5)) \leq 5 \)
\( -(x + 3,5) + (x — 2,5) \leq 5 \)
Раскрываем скобки:
\( -x — 3,5 + x — 2,5 \leq 5 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( -6 \leq 5 \)
Это утверждение является истинным для всех \( x \) в данном интервале.
Учитывая условие данного случая \( x < -3,5 \), все значения из этого интервала являются решениями. Таким образом, решение для этого случая: \( x \in (-\infty; -3,5) \). Объединяем решения из всех трех случаев: \( \emptyset \cup [-3,5; 2] \cup (-\infty; -3,5) = (-\infty; 2] \). Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \).

6) Решаем неравенство \( |4x + 3| — |x — 2| > 3 \).

Определяем критические точки для выражений под знаком модуля. Выражение \( 4x + 3 \) равно нулю при \( 4x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{4} \). Выражение \( x — 2 \) равно нулю при \( x = 2 \). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -\frac{3}{4}) \), \( [-\frac{3}{4}; 2) \) и \( [2; +\infty) \).

Рассмотрим три случая:

Случай 1: \( x \geq 2 \).
В этом случае \( 4x + 3 \geq 0 \) и \( x — 2 \geq 0 \).
Поэтому \( |4x + 3| = 4x + 3 \) и \( |x — 2| = x — 2 \).
Исходное неравенство принимает вид:
\( (4x + 3) — (x — 2) > 3 \)
Раскрываем скобки:
\( 4x + 3 — x + 2 > 3 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( 3x + 5 > 3 \)
Вычитаем \( 5 \) из обеих частей неравенства:
\( 3x > 3 — 5 \)
\( 3x > -2 \)
Делим обе части на \( 3 \):
\( x > -\frac{2}{3} \)
Учитывая условие данного случая \( x \geq 2 \), пересечение \( x \geq 2 \) и \( x > -\frac{2}{3} \) дает \( x \geq 2 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in [2; +\infty) \).

Случай 2: \( -\frac{3}{4} \leq x < 2 \).
В этом случае \( 4x + 3 \geq 0 \) и \( x — 2 < 0 \). Поэтому \( |4x + 3| = 4x + 3 \) и \( |x — 2| = -(x — 2) \). Исходное неравенство принимает вид: \( (4x + 3) — (-(x — 2)) > 3 \)
\( (4x + 3) + (x — 2) > 3 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( 5x + 1 > 3 \)
Вычитаем \( 1 \) из обеих частей неравенства:
\( 5x > 3 — 1 \)
\( 5x > 2 \)
Делим обе части на \( 5 \):
\( x > \frac{2}{5} \)
\( x > 0,4 \)
Учитывая условие данного случая \( -\frac{3}{4} \leq x < 2 \) (что эквивалентно \( -0,75 \leq x < 2 \)), пересечение \( -0,75 \leq x < 2 \) и \( x > 0,4 \) дает \( 0,4 < x < 2 \).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in (0,4; 2) \).

Случай 3: \( x < -\frac{3}{4} \).
В этом случае \( 4x + 3 < 0 \) и \( x — 2 < 0 \). Поэтому \( |4x + 3| = -(4x + 3) \) и \( |x — 2| = -(x — 2) \). Исходное неравенство принимает вид: \( -(4x + 3) — (-(x — 2)) > 3 \)
\( -(4x + 3) + (x — 2) > 3 \)
Раскрываем скобки:
\( -4x — 3 + x — 2 > 3 \)
Приводим подобные слагаемые:
\( -3x — 5 > 3 \)
Прибавляем \( 5 \) к обеим частям неравенства:
\( -3x > 3 + 5 \)
\( -3x > 8 \)
Делим обе части на \( -3 \), при этом меняем знак неравенства на противоположный:
\( x < \frac{8}{-3} \)
\( x < -\frac{8}{3} \)
Учитывая условие данного случая \( x < -\frac{3}{4} \), пересечение \( x < -\frac{3}{4} \) и \( x < -\frac{8}{3} \) дает \( x < -\frac{8}{3} \) (так как \( -\frac{8}{3} \approx -2,67 \) и \( -\frac{3}{4} = -0,75 \), то \( -\frac{8}{3} < -\frac{3}{4} \)).
Таким образом, решение для этого случая: \( x \in (-\infty; -\frac{8}{3}) \).

Объединяем решения из всех трех случаев: \( [2; +\infty) \cup (0,4; 2) \cup (-\infty; -\frac{8}{3}) \).
Это объединение дает: \( (-\infty; -\frac{8}{3}) \cup (0,4; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{8}{3}) \cup (0,4; +\infty) \).