ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 59 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) корни уравнения \(x^2 — (4 + a)x — 2a^2 — a — 0\) меньше числа 5?

Дано уравнение:
\(x^2 — (a + 1)x — 2a^2 — a = 0;\)
\(x^2 — (a + 1)x — (2a^2 + a) = 0;\)
\(D = (a + 1)^2 + 4 \cdot (2a^2 + a);\)
\(D = a^2 + 2a + 1 + 8a^2 + 4a;\)
\(D = 9a^2 + 6a + 1 = (3a + 1)^2;\)

1) Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{(a + 1) — (3a + 1)}{2} = \frac{-2a}{2} = -a;\)
\(x_2 = \frac{(a + 1) + (3a + 1)}{2} = \frac{4a + 2}{2} = 2a + 1;\)

2) Оба корня уравнения меньше числа 5:
\(\begin{cases} -a < 5 \\ 2a + 1 < 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > -5 \\ 2a < 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > -5 \\ a < 2 \end{cases} \Rightarrow -5 < a < 2;\) Ответ: \(a \in (-5; 2).\)

Дано уравнение:
\(x^2 — (a + 1)x — 2a^2 — a = 0.\)
Перепишем уравнение, объединив свободный член:
\(x^2 — (a + 1)x — (2a^2 + a) = 0.\)

Найдем дискриминант \(D\) квадратного уравнения по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -(a+1)\), \(c = -(2a^2 + a)\).
Тогда
\(D = (a + 1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 + a)) = (a + 1)^2 + 4(2a^2 + a).\)

Раскроем скобки:
\(D = (a + 1)^2 + 8a^2 + 4a = a^2 + 2a + 1 + 8a^2 + 4a.\)
Сложим подобные члены:
\(D = 9a^2 + 6a + 1.\)
Заметим, что это полный квадрат:
\(D = (3a + 1)^2.\)

1) Найдем корни уравнения по формуле:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + 1 \pm (3a + 1)}{2}.\)

Первый корень:
\(x_1 = \frac{(a + 1) — (3a + 1)}{2} = \frac{a + 1 — 3a — 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a.\)

Второй корень:
\(x_2 = \frac{(a + 1) + (3a + 1)}{2} = \frac{a + 1 + 3a + 1}{2} = \frac{4a + 2}{2} = 2a + 1.\)

2) Требуется, чтобы оба корня были меньше числа 5. Запишем систему неравенств:
\(\begin{cases} -a < 5 \\ 2a + 1 < 5 \end{cases}.\) Решим каждое неравенство: \(-a < 5 \Rightarrow a > -5.\)
\(2a + 1 < 5 \Rightarrow 2a < 4 \Rightarrow a < 2.\) Объединим решения: \(-5 < a < 2.\) Ответ: \(a \in (-5; 2).\)