Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 6 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что:
1) \((a + 2b)\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\), если \(a > 0\) и \(b > 0\);
2) \((a + 2)(b + 8)(c + 4) \geq 64\sqrt[3]{abc}\), если \(a \geq 0\), \(b \geq 0\), \(c \geq 0\).
1) Докажем неравенство:
\((a + 2b)\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\), где \(a > 0\), \(b > 0\).
Вычислим разность левой и правой части:
\((a + 2b)\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}\right) — 4 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 2 + \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = \frac{2(a — b)^2 + ab}{2ab} \geq 0\),
так как \((a — b)^2 \geq 0\) и \(ab > 0\).
2) Докажем неравенство:
\((a + 2)(b + 8)(c + 4) \geq 64 \sqrt[3]{abc}\), где \(a \geq 0\), \(b \geq 0\), \(c \geq 0\).
Используем неравенства:
\(a + 2 \geq 2 \sqrt{2a}\), \(b + 8 \geq 2 \sqrt{8b}\), \(c + 4 \geq 2 \sqrt{4c}\).
Перемножим:
\((a + 2)(b + 8)(c + 4) \geq 2 \sqrt{2a} \cdot 2 \sqrt{8b} \cdot 2 \sqrt{4c} = 8 \sqrt{64 abc} = 64 \sqrt[3]{abc}\).
1) Докажем неравенство \((a + 2b)\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4\), если \(a > 0\) и \(b > 0\).
Найдём разность левой и правой части:
\((a + 2b)\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}\right) — 4 = (a + 2b)\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}\right) — 4\).
Раскроем скобки:
\(= (a + 2b) \cdot \frac{1}{2a} + (a + 2b) \cdot \frac{1}{b} — 4 = \frac{a}{2a} + \frac{2b}{2a} + \frac{a}{b} + \frac{2b}{b} — 4\).
Упростим:
\(= \frac{1}{2} + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 2 — 4 = \frac{1}{2} + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} — 2\).
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} — 2 = \frac{a^2 + b^2 — 2ab}{ab} = \frac{(a — b)^2}{ab}\).
Таким образом,
\((a + 2b)\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{b}\right) — 4 = \frac{(a — b)^2}{ab} + \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = \frac{(a — b)^2}{ab} \geq 0\),
так как \((a — b)^2 \geq 0\) и \(ab > 0\).
Что и требовалось доказать.
2) Докажем неравенство \((a + 2)(b + 8)(c + 4) \geq 64 \sqrt[3]{abc}\), если \(a \geq 0\), \(b \geq 0\), \(c \geq 0\).
1) Выведем следующие неравенства:
\(a + 2 — 2 \sqrt{2a} = (\sqrt{a} — \sqrt{2})^2 \geq 0 \Rightarrow a + 2 \geq 2 \sqrt{2a}\);
\(b + 8 — 2 \sqrt{8b} = (\sqrt{b} — \sqrt{8})^2 \geq 0 \Rightarrow b + 8 \geq 2 \sqrt{8b}\);
\(c + 4 — 2 \sqrt{4c} = (\sqrt{c} — 2)^2 \geq 0 \Rightarrow c + 4 \geq 2 \sqrt{4c}\).
2) Перемножим эти неравенства:
\((a + 2)(b + 8)(c + 4) \geq 2 \sqrt{2a} \cdot 2 \sqrt{8b} \cdot 2 \sqrt{4c} = 8 \sqrt{64 abc} = 64 \sqrt[3]{abc}\).
Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.