ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 60 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) корни уравнения \(x^2 — 4ax + 3a^2 + 2a — 1 = 0\) принадлежат промежутку \([3; 10]\)?

Дано уравнение \(x^2 — 4ax + 3a^2 + 2a — 1 = 0\).

Дискриминант \(D = (4a)^2 — 4(3a^2 + 2a — 1) = 4a^2 — 8a + 4 = (2a — 2)^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{4a — (2a — 2)}{2} = a + 1\),
\(x_2 = \frac{4a + (2a — 2)}{2} = 3a — 1\).

Условие: оба корня принадлежат промежутку \([3; 10]\).

Для \(x_1\):
\(3 \leq a + 1 \leq 10 \Rightarrow 2 \leq a \leq 9\).

Для \(x_2\):
\(3 \leq 3a — 1 \leq 10 \Rightarrow 4 \leq 3a \leq 11 \Rightarrow \frac{4}{3} \leq a \leq \frac{11}{3}\).

Пересечение:
\(a \in [2; 3 \frac{2}{3}]\).

1. Уравнение: \(x^2 — 4ax + 3a^2 + 2a — 1 = 0\).

2. Дискриминант: \(D = (-4a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 + 2a — 1) = 16a^2 — 12a^2 — 8a +\)
\(+ 4 = 4a^2 — 8a + 4 = 4(a^2 — 2a + 1) = 4(a — 1)^2 = (2(a — 1))^2 = (2a — 2)^2\).

3. Корни:
\(x_1 = \frac{4a — (2a — 2)}{2} = \frac{4a — 2a + 2}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1\).
\(x_2 = \frac{4a + (2a — 2)}{2} = \frac{4a + 2a — 2}{2} = \frac{6a — 2}{2} = 3a — 1\).

4. Условие: оба корня принадлежат промежутку \([3; 10]\).

5. Для \(x_1\):
\(3 \leq a + 1 \leq 10\).
Вычитаем 1 из всех частей неравенства:
\(3 — 1 \leq a + 1 — 1 \leq 10 — 1\).
\(2 \leq a \leq 9\).

6. Для \(x_2\):
\(3 \leq 3a — 1 \leq 10\).
Прибавляем 1 ко всем частям неравенства:
\(3 + 1 \leq 3a — 1 + 1 \leq 10 + 1\).
\(4 \leq 3a \leq 11\).
Делим все части на 3:
\(\frac{4}{3} \leq a \leq \frac{11}{3}\).

7. Пересечение:
Необходимо найти пересечение двух интервалов для \(a\):
\(a \in [2; 9]\)
\(a \in \left[\frac{4}{3}; \frac{11}{3}\right]\).
Переведем дробные границы во смешанные числа для удобства:
\(\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}\)
\(\frac{11}{3} = 3 \frac{2}{3}\).
Таким образом, интервалы:
\(a \in [2; 9]\)
\(a \in \left[1 \frac{1}{3}; 3 \frac{2}{3}\right]\).
Пересечением этих интервалов является:
\(a \in \left[\max\left(2, 1 \frac{1}{3}\right); \min\left(9, 3 \frac{2}{3}\right)\right]\).
\(a \in \left[2; 3 \frac{2}{3}\right]\).