ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 60 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) корни уравнения \(x^2 — 4ax + 3a^2 + 2a — 1 = 0\) принадлежат промежутку \([3; 10]\)?

Дано уравнение \(x^2 — 4ax + 3a^2 + 2a — 1 = 0\).

Дискриминант \(D = (4a)^2 — 4(3a^2 + 2a — 1) = 4a^2 — 8a + 4 = (2a — 2)^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{4a — (2a — 2)}{2} = a + 1\),
\(x_2 = \frac{4a + (2a — 2)}{2} = 3a — 1\).

Условие: оба корня принадлежат промежутку \([3; 10]\).

Для \(x_1\):
\(3 \leq a + 1 \leq 10 \Rightarrow 2 \leq a \leq 9\).

Для \(x_2\):
\(3 \leq 3a — 1 \leq 10 \Rightarrow 4 \leq 3a \leq 11 \Rightarrow \frac{4}{3} \leq a \leq \frac{11}{3}\).

Пересечение:
\(a \in [2; 3 \frac{2}{3}]\).

Дано уравнение:
\(x^2 — (a + 1)x — 2a^2 — a = 0.\)
Перепишем уравнение, объединив свободный член:
\(x^2 — (a + 1)x — (2a^2 + a) = 0.\)

Найдем дискриминант \(D\) квадратного уравнения по ффРассмотрим уравнение \(x^2 — 4ax + 3a^2 + 2a — 1 = 0\). Это квадратное уравнение относительно переменной \(x\), где коэффициенты зависят от параметра \(a\). Для нахождения корней такого уравнения в первую очередь необходимо вычислить дискриминант, который определяет количество и вид корней. По формуле дискриминанта для квадратного уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\) имеем \(D = B^2 — 4AC\). В нашем случае \(A = 1\), \(B = -4a\), \(C = 3a^2 + 2a — 1\). Подставляя эти значения, получаем \(D = (-4a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 + 2a — 1) = 16a^2 — 12a^2 — 8a + 4 = 4a^2 — 8a + 4\). Заметим, что выражение \(4a^2 — 8a + 4\) можно преобразовать к квадрату бинома: \(4a^2 — 8a + 4 = (2a — 2)^2\). Это значит, что дискриминант всегда неотрицателен, а именно равен квадрату выражения \(2a — 2\), что гарантирует существование двух корней, которые могут совпадать при \(2a — 2 = 0\).

Далее найдем сами корни уравнения. Формула корней квадратного уравнения даёт \(x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}\). Подставляя \(B = -4a\), \(A = 1\) и \(\sqrt{D} = |2a — 2|\), получаем два корня:
\(x_1 = \frac{4a — (2a — 2)}{2} = \frac{4a — 2a + 2}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1\),
\(x_2 = \frac{4a + (2a — 2)}{2} = \frac{4a + 2a — 2}{2} = \frac{6a — 2}{2} = 3a — 1\).
Таким образом, корни выражаются линейно через параметр \(a\), что позволяет нам исследовать их принадлежность заданному промежутку.

Условие задачи требует, чтобы оба корня лежали в интервале от 3 до 10 включительно. Рассмотрим сначала нижнюю границу интервала. Для первого корня \(x_1 = a + 1\) условие \(x_1 \geq 3\) даёт неравенство \(a + 1 \geq 3\), откуда \(a \geq 2\). Для второго корня \(x_2 = 3a — 1\) условие \(x_2 \geq 3\) даёт \(3a — 1 \geq 3\), то есть \(3a \geq 4\), следовательно, \(a \geq \frac{4}{3}\). Поскольку \(a\) должен удовлетворять обоим условиям одновременно, выбираем более строгое из них: \(a \geq 2\).

Теперь рассмотрим верхнюю границу интервала. Для первого корня условие \(x_1 \leq 10\) даёт \(a + 1 \leq 10\), откуда \(a \leq 9\). Для второго корня условие \(x_2 \leq 10\) даёт \(3a — 1 \leq 10\), то есть \(3a \leq 11\), следовательно, \(a \leq \frac{11}{3}\). Между этими двумя ограничениями выбираем более жёсткое, то есть \(a \leq \frac{11}{3}\), что в десятичном виде равно примерно 3,666…

Объединяя оба результата, получаем, что параметр \(a\) должен принадлежать пересечению промежутков \(a \geq 2\) и \(a \leq \frac{11}{3}\). Итоговый ответ:
\(a \in [2; \frac{11}{3}]\) или \(a \in [2; 3 \frac{2}{3}]\).ормуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -(a+1)\), \(c = -(2a^2 + a)\).
Тогда
\(D = (a + 1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 + a)) = (a + 1)^2 + 4(2a^2 + a).\)

Раскроем скобки:
\(D = (a + 1)^2 + 8a^2 + 4a = a^2 + 2a + 1 + 8a^2 + 4a.\)
Сложим подобные члены:
\(D = 9a^2 + 6a + 1.\)
Заметим, что это полный квадрат:
\(D = (3a + 1)^2.\)

1) Найдем корни уравнения по формуле:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + 1 \pm (3a + 1)}{2}.\)

Первый корень:
\(x_1 = \frac{(a + 1) — (3a + 1)}{2} = \frac{a + 1 — 3a — 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a.\)

Второй корень:
\(x_2 = \frac{(a + 1) + (3a + 1)}{2} = \frac{a + 1 + 3a + 1}{2} = \frac{4a + 2}{2} = 2a + 1.\)

2) Требуется, чтобы оба корня были меньше числа 5. Запишем систему неравенств:
\(\begin{cases} -a < 5 \\ 2a + 1 < 5 \end{cases}.\) Решим каждое неравенство: \(-a < 5 \Rightarrow a > -5.\)
\(2a + 1 < 5 \Rightarrow 2a < 4 \Rightarrow a < 2.\) Объединим решения: \(-5 < a < 2.\) Ответ: \(a \in (-5; 2).\)