ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 61 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) один из корней уравнения \(3x^2 — (7a + 2)x + 2a^2 + 4a = 0\) меньше 0, а второй — больше 1?

Дано уравнение \(3x^2 — (7a + 2)x + 2a^2 + 4a = 0\).

Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{a + 2}{3}\),
\(x_2 = 2a\).

Условие: один корень меньше 0, другой больше 1.

Система для первого случая:
\[
\begin{cases}
\frac{a + 2}{3} < 0 \\ 2a > 1
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
a < -2 \\ a > \frac{1}{2}
\end{cases}
\Rightarrow a \in \emptyset
\]

Система для второго случая:
\[
\begin{cases}
\frac{a + 2}{3} > 1 \\
2a < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a > 1 \\
a < 0 \end{cases} \Rightarrow a \in \emptyset \] Ответ: таких значений \(a\) нет, то есть \(a \in \emptyset\).

1. Рассмотрим данное квадратное уравнение: \(3x^2 — (7a + 2)x + 2a^2 + 4a = 0\). Чтобы найти корни, сначала вычислим дискриминант, так как он определяет количество и вид корней. Формула дискриминанта для уравнения \(Ax^2 + Bx + C = 0\) выглядит как \(D = B^2 — 4AC\). Здесь \(A = 3\), \(B = -(7a + 2)\), \(C = 2a^2 + 4a\). Подставляем:
\(D = (7a + 2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (2a^2 + 4a)\). Раскроем скобки и упростим:
\(D = 49a^2 + 28a + 4 — 24a^2 — 48a = 25a^2 — 20a + 4\). Заметим, что это выражение можно представить как полный квадрат:
\(D = (5a — 2)^2\), что гарантирует два вещественных корня, возможно совпадающих.

2. Теперь найдём сами корни по формуле:
\(x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}\). Подставляя значения:
\(x_1 = \frac{7a + 2 — (5a — 2)}{2 \cdot 3} = \frac{2a + 4}{6} = \frac{a + 2}{3}\),
\(x_2 = \frac{7a + 2 + (5a — 2)}{2 \cdot 3} = \frac{12a}{6} = 2a\). Таким образом, корни выражены через параметр \(a\).

3. По условию задачи один корень должен быть меньше 0, а другой — больше 1. Рассмотрим два варианта расположения корней. В первом варианте предполагается, что \(x_1 < 0\) и \(x_2 > 1\). Для \(x_1 < 0\) имеем: \(\frac{a + 2}{3} < 0 \Rightarrow a + 2 < 0 \Rightarrow a < -2\). Для \(x_2 > 1\) имеем:
\(2a > 1 \Rightarrow a > \frac{1}{2}\). Получаем противоречие, так как \(a\) не может одновременно быть меньше \(-2\) и больше \(\frac{1}{2}\). Значит, этот вариант невозможен.

4. Во втором варианте предполагается, что \(x_1 > 1\) и \(x_2 < 0\). Для \(x_1 > 1\) получаем:
\(\frac{a + 2}{3} > 1 \Rightarrow a + 2 > 3 \Rightarrow a > 1\). Для \(x_2 < 0\) имеем: \(2a < 0 \Rightarrow a < 0\). Опять возникает противоречие, так как \(a\) не может быть одновременно больше 1 и меньше 0. Следовательно, и этот вариант невозможен. 5. Итог: при любых значениях параметра \(a\) невозможно, чтобы один корень был меньше 0, а другой больше 1. Таким образом, множество таких значений \(a\) пусто, то есть \(a \in \emptyset\).