ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 67 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
1) \(f(x) = 3x + 5\);
2) \(f(x) = \frac{7}{x + 8}\);
3) \(f(x) = \frac{x — 2}{3}\);
4) \(f(x) = \frac{3x + 6}{2x — 1}\);
5) \(f(x) = \sqrt{5 — x}\);
6) \(f(x) = \frac{3}{x}\);
7) \(f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 — 6}\);
8) \(f(x) = \frac{3}{x^2 + 9}\);
9) \(f(x) = \frac{5x + 4}{4x^2 — x}\);
10) \(f(x) = \frac{x}{|x| — 2}\);
11) \(f(x) = \frac{x — 2}{|x| + 4}\);
12) \(f(x) = \frac{5}{x^2 — |x|}\);
13) \(f(x) = \sqrt{x — 3} — \sqrt{6 — x}\);
14) \(f(x) = \sqrt{x + 2} + \frac{x — 5}{2x + 1}\);
15) \(f(x) = \sqrt{7 — x} — \sqrt{x — 7}\);
16) \(f(x) = \sqrt{x — 5} — \frac{3}{4 — x}\);
17) \(f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{x + 2}{x^2 — 9}\);
18) \(f(x) = \sqrt{\frac{x — 1}{x + 4}} — \frac{3x — 1}{x^2 — x — 6}\).

1) \(D(f) = (-\infty; +\infty)\)
2) \(x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8\), \(D(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)\)
3) \(D(f) = (-\infty; +\infty)\)
4) \(2x — 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}\), \(D(f) = (-\infty; 0.5) \cup (0.5; +\infty)\)
5) \(5 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5\), \(D(f) = (-\infty; 5]\)
6) \(x \neq 0\), \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\)
7) \(x^2 — 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{6}\), \(D(f) = (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}; \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)\)
8) \(x^2 + 9 \neq 0\) всегда верно, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\)
9) \(4x^2 — x \neq 0 \Rightarrow x(4x — 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \frac{1}{4}\), \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 0.25) \cup (0.25; +\infty)\)
10) \(|x| — 2 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq 2 \Rightarrow x \neq \pm 2\), \(D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\)
11) \(|x| + 4 \neq 0\) всегда верно, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\)
12) \(x^2 — |x| \neq 0 \Rightarrow |x|( |x| — 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \pm 1\), \(D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)\)
13) \(x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3\), \(6 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 6\), \(D(f) = [3; 6]\)
14) \(x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\), \(2x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0.5\), \(D(f) = [-2; -0.5) \cup (-0.5; +\infty)\)
15) \(7 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 7\), \(x — 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq 7\), \(D(f) = \{7\}\)
16) \(x — 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5\), \(4 — x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\), \(D(f) = [5; +\infty)\)
17) \(x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\), \(x^2 — 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3\), \(D(f) = [-3; 3) \cup (3; +\infty)\)
18) \(\frac{x — 1}{x + 4} \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\), \(x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4\), \(x^2 — x — 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2, x \neq 3\), с учетом \(x \geq 1\), \(D(f) = [1; 3) \cup (3; +\infty)\)

1) Функция \(f(x) = 3x + 5\) определена для всех значений \(x\), так как это линейная функция без ограничений.
Ответ: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).

2) Функция \(f(x) = \frac{7}{x + 8}\) определена при условии, что знаменатель не равен нулю:
\(x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)\).

3) Функция \(f(x) = \frac{x — 2}{3}\) определена для всех \(x\), так как знаменатель равен 3 и не равен нулю.
Ответ: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).

4) Функция \(f(x) = \frac{3x + 6}{2x — 1}\) определена при условии, что знаменатель не равен нулю:
\(2x — 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; 0.5) \cup (0.5; +\infty)\).

5) Функция \(f(x) = \sqrt{5 — x}\) определена при условии, что подкоренное выражение неотрицательно:
\(5 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; 5]\).

6) Функция \(f(x) = \frac{3}{x}\) определена при \(x \neq 0\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

7) Функция \(f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 — 6}\) определена при условии, что знаменатель не равен нулю:
\(x^2 — 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{6}\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}; \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)\).

8) Функция \(f(x) = \frac{3}{x^2 + 9}\) определена для всех \(x\), так как \(x^2 + 9 > 0\) для всех \(x\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).

9) Функция \(f(x) = \frac{5x + 4}{4x^2 — x}\) определена при условии, что знаменатель не равен нулю:
\(4x^2 — x \neq 0 \Rightarrow x(4x — 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \frac{1}{4}\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 0.25) \cup (0.25; +\infty)\).

10) Функция \(f(x) = \frac{x}{|x| — 2}\) определена при условии, что знаменатель не равен нулю:
\(|x| — 2 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq 2 \Rightarrow x \neq \pm 2\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)\).
11) Функция \(f(x) = \frac{1}{|x| + 4}\) определена для всех \(x\), так как выражение в знаменателе \(|x| + 4 > 0\) для всех \(x\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).

12) Функция \(f(x) = \frac{1}{x^2 — |x|}\) определена при условии, что знаменатель не равен нулю:
\(x^2 — |x| \neq 0 \Rightarrow |x|( |x| — 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \pm 1\).
Ответ: \(D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)\).

13) Функция \(f(x) = \sqrt{x — 3} + \sqrt{6 — x}\) определена при условиях:
\(x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3\),
\(6 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 6\).
Ответ: \(D(f) = [3; 6]\).

14) Функция \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2x + 1}\) определена при условиях:
\(x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\),
\(2x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2}\).
Ответ: \(D(f) = [-2; -0.5) \cup (-0.5; +\infty)\).

15) Функция \(f(x) = \sqrt{7 — x} + \sqrt{x — 7}\) определена при условиях:
\(7 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 7\),
\(x — 7 \geq 0 \Rightarrow x \geq 7\).
Ответ: \(D(f) = \{7\}\).

16) Функция \(f(x) = \sqrt{x — 5} + \frac{1}{4 — x}\) определена при условиях:
\(x — 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5\),
\(4 — x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4\).
Ответ: \(D(f) = [5; +\infty)\).

17) Функция \(f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x^2 — 9}\) определена при условиях:
\(x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\),
\(x^2 — 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3\).
Ответ: \(D(f) = [-3; 3) \cup (3; +\infty)\).

18) Функция \(f(x) = \sqrt{\frac{x — 1}{x + 4}} + \frac{1}{x^2 — x — 6}\) определена при условиях:
\(\frac{x — 1}{x + 4} \geq 0\),
\(x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4\),
\(x^2 — x — 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2, x \neq 3\).

Рассмотрим неравенство \(\frac{x — 1}{x + 4} \geq 0\). Знаменатель \(x + 4 > 0\) при \(x > -4\), и числитель \(x — 1 \geq 0\) при \(x \geq 1\). Значит, \(\frac{x — 1}{x + 4} \geq 0\) при \(x \in [-4; +\infty)\) и \(x \geq 1\), то есть \(x \geq 1\).

С учетом исключения точек \(x = -4, -2, 3\), и учитывая \(x \geq 1\), получаем:
Ответ: \(D(f) = [1; 3) \cup (3; +\infty)\).