ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 68 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:
1) \(f(x) = \sqrt{x + 2}\);
2) \(f(x) = \sqrt{x — 3}\);
3) \(f(x) = 4 — x^2\);
4) \(f(x) = x^2 + 1\);
5) \(f(x) = |x| — 1\);
6) \(f(x) = \sqrt{x^2 + 9} — 1\);
7) \(f(x) = \sqrt{|x + 1|}\);
8) \(f(x) = \sqrt{x — 8} — \sqrt{8 — x}\).

1) \(f(x) = \sqrt{x + 2}\)
Область определения: \(x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\)
Минимальное значение функции при \(x = -2\): \(f(-2) = 0\)
Ответ: \(E(f) = [0; +\infty)\).

2) \(f(x) = \sqrt{x — 3}\)
Область определения: \(x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3\)
Минимальное значение функции при \(x = 3\): \(f(3) = 0\)
Ответ: \(E(f) = [0; +\infty)\).

3) \(f(x) = 4 — x^2\)
Максимум при \(x=0\): \(f(0) = 4\)
При \(x \to \pm \infty, f(x) \to -\infty\)
Ответ: \(E(f) = (-\infty; 4]\).

4) \(f(x) = x^2 + 1\)
Минимум при \(x=0\): \(f(0) = 1\)
Ответ: \(E(f) = [1; +\infty)\).

5) \(f(x) = |x| — 1\)
Минимум при \(x=0\): \(f(0) = -1\)
Ответ: \(E(f) = [-1; +\infty)\).

6) \(f(x) = \sqrt{x^2 + 9} — 1\)
Минимум при \(x=0\): \(f(0) = \sqrt{9} — 1 = 3 — 1 = 2\)
Ответ: \(E(f) = [2; +\infty)\).

7) \(f(x) = \sqrt{|x + 1|}\)
Минимум при \(x = -1\): \(f(-1) = 0\)
Ответ: \(E(f) = [0; +\infty)\).

8) \(f(x) = \sqrt{x — 8} — \sqrt{8 — x}\)
Область определения: \(x \geq 8\) и \(x \leq 8 \Rightarrow x = 8\)
\(f(8) = 0\)
Ответ: \(E(f) = \{0\}\).

1) \(f(x) = \sqrt{x + 2}\)
Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно: \(x + 2 \geq 0\).
Отсюда \(x \geq -2\).
Минимальное значение функции достигается при \(x = -2\), тогда \(f(-2) = \sqrt{0} = 0\).
Максимального значения нет, так как при \(x \to +\infty\) функция растёт без ограничения.
Ответ: \(E(f) = [0; +\infty)\).

2) \(f(x) = \sqrt{x — 3}\)
Область определения: \(x — 3 \geq 0\), значит \(x \geq 3\).
Минимальное значение функции при \(x = 3\), тогда \(f(3) = \sqrt{0} = 0\).
Максимального значения нет, функция растёт при увеличении \(x\).
Ответ: \(E(f) = [0; +\infty)\).

3) \(f(x) = 4 — x^2\)
Функция определена для всех \(x\), так как нет ограничений на \(x\).
Максимум функции достигается при \(x = 0\), \(f(0) = 4\).
При \(x \to \pm \infty\) функция уходит в минус бесконечность.
Ответ: \(E(f) = (-\infty; 4]\).

4) \(f(x) = x^2 + 1\)
Функция определена для всех \(x\).
Минимум функции при \(x=0\), \(f(0) = 1\).
Функция растёт при удалении от нуля, максимум не ограничен.
Ответ: \(E(f) = [1; +\infty)\).

5) \(f(x) = |x| — 1\)
Модуль \( |x| \geq 0 \) для всех \(x\).
Минимальное значение функции при \(x=0\), \(f(0) = 0 — 1 = -1\).
Функция не ограничена сверху.
Ответ: \(E(f) = [-1; +\infty)\).

6) \(f(x) = \sqrt{x^2 + 9} — 1\)
Подкоренное выражение \(x^2 + 9 \geq 9\) для всех \(x\).
Минимальное значение подкоренного выражения 9 при \(x=0\).
Тогда \(f(0) = \sqrt{9} — 1 = 3 — 1 = 2\).
Функция растёт при увеличении \(|x|\).
Ответ: \(E(f) = [2; +\infty)\).

7) \(f(x) = \sqrt{|x + 1|}\)
Подкоренное выражение \(|x + 1| \geq 0\) для всех \(x\).
Минимум достигается при \(x = -1\), где \(|x+1|=0\).
Тогда \(f(-1) = \sqrt{0} = 0\).
Функция не ограничена сверху.
Ответ: \(E(f) = [0; +\infty)\).

8) \(f(x) = \sqrt{x — 8} — \sqrt{8 — x}\)
Область определения:
\(x — 8 \geq 0 \Rightarrow x \geq 8\) и
\(8 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 8\).
Значит \(x = 8\).
Вычисляем \(f(8) = \sqrt{0} — \sqrt{0} = 0\).
Ответ: \(E(f) = \{0\}\).