ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 68 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:
1) \(f(x) = \sqrt{x + 2}\);
2) \(f(x) = \sqrt{x — 3}\);
3) \(f(x) = 4 — x^2\);
4) \(f(x) = x^2 + 1\);
5) \(f(x) = |x| — 1\);
6) \(f(x) = \sqrt{x^2 + 9} — 1\);
7) \(f(x) = \sqrt{|x + 1|}\);
8) \(f(x) = \sqrt{x — 8} — \sqrt{8 — x}\).

1) \(f(x)=\sqrt{x+2}\):
\(\sqrt{x} \geq 0;\)
\(\sqrt{x+2} \geq 2;\)
Ответ: \(E(f) = [2; +\infty).\)

2) \(f(x) = \sqrt{x-3}\):
\(\sqrt{x} \geq 0;\)
\(\sqrt{x-3} \geq -3;\)
Ответ: \(E(f) = [-3; +\infty).\)

3) \(f(x)=4-x^2\):
\(x^2 \geq 0;\)
\(-x^2 \leq 0;\)
\(4-x^2 \leq 4;\)
Ответ: \(E(f) = (-\infty; 4].\)

4) \(f(x)=x^2+1\):
\(x^2 \geq 0;\)
\(x^2 +1 \geq 1;\)
Ответ: \(E(f) = [1; +\infty).\)

5) \(f(x)=|x|-1\):
\(|x| \geq 0;\)
\(|x|-1 \geq -1;\)
Ответ: \(E(f) = [-1; +\infty).\)

6) \(f(x)=\sqrt{x^2+9}-1\):
\(x^2 \geq 0;\)
\(x^2 + 9 \geq 9;\)
\(\sqrt{x^2 + 9} \geq 3;\)
\(\sqrt{x^2 + 9} — 1 \geq 2;\)
Ответ: \(E(f) = [2; +\infty).\)

7) \(f(x)=\sqrt{-|x+1|}\):
\(-|x+1| \geq 0;\)
\(|x+1| \leq 0;\)
\(x+1 = 0;\)
\(x = -1;\)
\(f(-1) = \sqrt{-(-1+1)} = \sqrt{0} = 0;\)
Ответ: \(E(f) = \{0\}.\)

8) \(f(x)=\sqrt{x-8-\sqrt{8-x}}\):
\((x-8) \geq 0;\)
\((8-x) \geq 0;\)
\(x \geq 8;\)
\(x \leq 8;\)
\(x = 8;\)
\(f(8) = \sqrt{8-8+\sqrt{8-8}} = 0;\)
Ответ: \(E(f) = \{0\}.\)

1) \(f(x)=\sqrt{x+2}\):
Для определения области значений функции \(f(x)\), необходимо учитывать, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.
Во-первых, условие \(\sqrt{x} \geq 0\) автоматически выполняется, поскольку квадратный корень определён только для неотрицательных аргументов. Далее, подкоренное выражение \(x+2\) должно быть больше или равно 2, чтобы функция \(f(x)\) принимала значения, начиная с 2.
Уравнение \(x+2 \geq 2\) приводит к \(x \geq 0\). Таким образом, область значений функции будет \(E(f) = [2; +\infty).\)

2) \(f(x) = \sqrt{x-3}\):
Аналогично первому примеру, корень определён только при выполнении условия \(\sqrt{x} \geq 0\).
Подкоренное выражение \(x-3\) также должно быть больше или равно -3, чтобы функция \(f(x)\) имела смысл.
Рассмотрим условие \(x-3 \geq -3\), которое приводит к \(x \geq 0\). Таким образом, область значений функции \(f(x)\) будет \(E(f) = [-3; +\infty).\)

3) \(f(x)=4-x^2\):
Функция \(f(x)\) имеет вид квадратичной функции, где \(x^2\) всегда неотрицательно, так как это квадрат числа. Следовательно, условие \(x^2 \geq 0\) выполняется для всех \(x\).
Далее, рассмотрим ограничение функции: \(4-x^2 \leq 4\). Это условие всегда выполняется, так как \(x^2\) не может быть отрицательным.
Таким образом, область значений функции ограничивается сверху числом 4, а снизу область не имеет ограничений, что даёт \(E(f) = (-\infty; 4].\)

4) \(f(x)=x^2+1\):
Функция \(f(x)\) имеет вид квадратичной функции, где \(x^2\) всегда неотрицательно. Следовательно, условие \(x^2 \geq 0\) выполняется для всех \(x\).
Далее, подставляем \(x^2 + 1 \geq 1\), что также выполняется для любых значений \(x\), так как \(x^2 \geq 0\).
Таким образом, область значений функции начинается с 1 и не имеет верхнего ограничения: \(E(f) = [1; +\infty).\)

5) \(f(x)=|x|-1\):
Функция \(f(x)\) содержит модуль числа \(x\), который всегда неотрицателен. Следовательно, условие \(|x| \geq 0\) выполняется для всех \(x\).
Далее, рассмотрим выражение \(|x|-1 \geq -1\). Это условие также выполняется для всех \(x\), поскольку модуль числа \(x\) всегда больше или равен нулю, а значит, \(|x|-1\) всегда больше или равно -1.
Таким образом, область значений функции будет \(E(f) = [-1; +\infty).\)

6) \(f(x)=\sqrt{x^2+9}-1\):
Для определения области значений функции, необходимо учитывать, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.
Во-первых, \(x^2 \geq 0\), так как это квадрат числа. Далее, подкоренное выражение \(x^2 + 9\) всегда больше или равно 9, что означает, что корень \(\sqrt{x^2+9}\) всегда больше или равен 3.
После вычитания единицы из этого значения, получаем, что \(f(x) \geq 2\). Таким образом, область значений функции будет \(E(f) = [2; +\infty).\)

7) \(f(x)=\sqrt{-|x+1|}\):
Функция \(f(x)\) содержит квадратный корень из отрицательного выражения, что возможно только в случае, если это выражение равно нулю.
Рассмотрим условие \(-|x+1| \geq 0\), которое приводит к \(|x+1| \leq 0\). Это возможно только при \(x+1 = 0\), то есть \(x = -1\).
Подставляем \(x = -1\) в функцию \(f(x)\): \(f(-1) = \sqrt{-(-1+1)} = \sqrt{0} = 0.\)
Таким образом, область значений функции будет \(E(f) = \{0\}.\)

8) \(f(x)=\sqrt{x-8-\sqrt{8-x}}\):
Функция \(f(x)\) содержит два квадратных корня, которые определены только при неотрицательных подкоренных выражениях.
Во-первых, рассмотрим условие \(x-8 \geq 0\), что приводит к \(x \geq 8\). Далее, условие \(8-x \geq 0\) приводит к \(x \leq 8\).
Таким образом, оба условия выполняются только при \(x = 8\). Подставляем \(x = 8\) в функцию \(f(x)\):
\(f(8) = \sqrt{8-8+\sqrt{8-8}} = \sqrt{0+0} = 0.\)
Таким образом, область значений функции будет \(E(f) = \{0\}.\)