ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 70 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:
1) \(f(x) = \frac{2}{5}x — 3\);
2) \(g(x) = \frac{8x — 1}{x + 2}\);
3) \(\varphi(x) = x^2 — 3x + 2\);
4) \(g(x) = \frac{x^2 — 5}{x^2 + 1}\).

1) \(f(x) = \frac{2}{5}x — 3\)
Пересечение с осью ординат:
\(f(0) = \frac{2}{5} \cdot 0 — 3 = -3\)

Пересечение с осью абсцисс:
\(\frac{2}{5}x — 3 = 0\)
\(\frac{2}{5}x = 3\)
\(x = 3 \cdot \frac{5}{2} = 7,5\)

Ответ: \((0; -3); (7,5; 0)\)

2) \(g(x) = \frac{3x — 1}{x + 2}\)
Пересечение с осью ординат:
\(g(0) = \frac{3 \cdot 0 — 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2} = -0,5\)

Пересечение с осью абсцисс:
\(\frac{3x — 1}{x + 2} = 0\)
\(3x — 1 = 0\)
\(x = \frac{1}{3}\)

Ответ: \((0; -0,5); \left(\frac{1}{3}; 0\right)\)

3) \(\varphi(x) = x^2 — 3x + 2\)
Пересечение с осью ординат:
\(\varphi(0) = 0^2 — 3 \cdot 0 + 2 = 2\)

Пересечение с осью абсцисс:
\(x^2 — 3x + 2 = 0\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\)
\(x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\)

Ответ: \((0; 2); (1; 0); (2; 0)\)

4) \(g(x) = \frac{x^2 — 5}{x^2 + 1}\)
Пересечение с осью ординат:
\(g(0) = \frac{0^2 — 5}{0^2 + 1} = \frac{-5}{1} = -5\)

Пересечение с осью абсцисс:
\(\frac{x^2 — 5}{x^2 + 1} = 0\)
\(x^2 — 5 = 0\)
\(x^2 = 5\)
\(x = \pm \sqrt{5}\)

Ответ: \((0; -5); (-\sqrt{5}; 0); (\sqrt{5}; 0)\)

1) \(f(x) = \frac{2}{5}x — 3\)
Для нахождения пересечения графика функции с осью ординат необходимо подставить \(x = 0\), так как на оси ординат все точки имеют координату \(x = 0\). Подставляем:
\(f(0) = \frac{2}{5} \cdot 0 — 3 = -3\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0; -3)\).

Для нахождения пересечения графика функции с осью абсцисс необходимо решить уравнение \(f(x) = 0\), так как на оси абсцисс все точки имеют координату \(y = 0\). Подставляем:
\(\frac{2}{5}x — 3 = 0\).
Переносим \(-3\) в правую часть уравнения:
\(\frac{2}{5}x = 3\).
Умножаем обе части уравнения на 5 и делим на 2:
\(x = 3 \cdot \frac{5}{2} = 7,5\).
Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты \((7,5; 0)\).

Ответ: \((0; -3); (7,5; 0)\).

2) \(g(x) = \frac{3x — 1}{x + 2}\)
Для нахождения пересечения графика функции с осью ординат необходимо подставить \(x = 0\), так как на оси ординат все точки имеют координату \(x = 0\). Подставляем:
\(g(0) = \frac{3 \cdot 0 — 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2} = -0,5\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0; -0,5)\).

Для нахождения пересечения графика функции с осью абсцисс необходимо решить уравнение \(g(x) = 0\), так как на оси абсцисс все точки имеют координату \(y = 0\). Подставляем:
\(\frac{3x — 1}{x + 2} = 0\).
Знаменатель \(x + 2\) не равен нулю, поэтому решаем только числитель:
\(3x — 1 = 0\).
Переносим \(-1\) в правую часть уравнения:
\(3x = 1\).
Делим обе части уравнения на 3:
\(x = \frac{1}{3}\).
Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\).

Ответ: \((0; -0,5); \left(\frac{1}{3}; 0\right)\).

3) \(\varphi(x) = x^2 — 3x + 2\)
Для нахождения пересечения графика функции с осью ординат необходимо подставить \(x = 0\), так как на оси ординат все точки имеют координату \(x = 0\). Подставляем:
\(\varphi(0) = 0^2 — 3 \cdot 0 + 2 = 2\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0; 2)\).

Для нахождения пересечения графика функции с осью абсцисс необходимо решить уравнение \(\varphi(x) = 0\), так как на оси абсцисс все точки имеют координату \(y = 0\). Подставляем:
\(x^2 — 3x + 2 = 0\).
Это квадратное уравнение, его решаем через дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).
Корни уравнения находятся по формуле:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\).
Подставляем:
\(x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\).
Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты \((1; 0)\) и \((2; 0)\).

Ответ: \((0; 2); (1; 0); (2; 0)\).

4) \(g(x) = \frac{x^2 — 5}{x^2 + 1}\)
Для нахождения пересечения графика функции с осью ординат необходимо подставить \(x = 0\), так как на оси ординат все точки имеют координату \(x = 0\). Подставляем:
\(g(0) = \frac{0^2 — 5}{0^2 + 1} = \frac{-5}{1} = -5\).
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \((0; -5)\).

Для нахождения пересечения графика функции с осью абсцисс необходимо решить уравнение \(g(x) = 0\), так как на оси абсцисс все точки имеют координату \(y = 0\). Подставляем:
\(\frac{x^2 — 5}{x^2 + 1} = 0\).
Знаменатель \(x^2 + 1\) не равен нулю, поэтому решаем только числитель:
\(x^2 — 5 = 0\).
Переносим \(-5\) в правую часть уравнения:
\(x^2 = 5\).
Извлекаем корень из обеих частей уравнения:
\(x = \pm \sqrt{5}\).
Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты \((- \sqrt{5}; 0)\) и \((\sqrt{5}; 0)\).

Ответ: \((0; -5); (-\sqrt{5}; 0); (\sqrt{5}; 0)\).