ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 70 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:
1) \(f(x) = \frac{2}{5}x — 3\);
2) \(g(x) = \frac{8x — 1}{x + 2}\);
3) \(\varphi(x) = x^2 — 3x + 2\);
4) \(g(x) = \frac{x^2 — 5}{x^2 + 1}\).

1) Пересечение с осью ординат: \(f(0) = \frac{2}{5} \cdot 0 — 3 = -3\)
Пересечение с осью абсцисс: \(\frac{2}{5}x — 3 = 0 \Rightarrow \frac{2}{5}x = 3 \Rightarrow x = \frac{3 \cdot 5}{2} = 7.5\)
Ответ: \((0; -3), (7.5; 0)\)

2) Пересечение с осью ординат: \(g(0) = \frac{8 \cdot 0 — 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2} = -0.5\)
Пересечение с осью абсцисс: \(\frac{8x — 1}{x + 2} = 0 \Rightarrow 8x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{8}\)
Ответ: \((0; -0.5), \left(\frac{1}{8}; 0\right)\)

3) Пересечение с осью ординат: \(\varphi(0) = 0^2 — 3 \cdot 0 + 2 = 2\)
Пересечение с осью абсцисс: \(x^2 — 3x + 2 = 0\), дискриминант \(D = 9 — 8 = 1\), корни \(x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\)
Ответ: \((0; 2), (1; 0), (2; 0)\)

4) Пересечение с осью ординат: \(g(0) = \frac{0^2 — 5}{0^2 + 1} = \frac{-5}{1} = -5\)
Пересечение с осью абсцисс: \(\frac{x^2 — 5}{x^2 + 1} = 0 \Rightarrow x^2 — 5 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}\)
Ответ: \((0; -5), (-\sqrt{5}; 0), (\sqrt{5}; 0)\)

1) \(f(x) = \frac{2}{5}x — 3\)

Пересечение с осью ординат находится подстановкой \(x = 0\) в функцию:
\(f(0) = \frac{2}{5} \cdot 0 — 3 = -3\).
Точка пересечения с осью ординат: \((0; -3)\).

Пересечение с осью абсцисс находится из уравнения \(f(x) = 0\):
\(\frac{2}{5}x — 3 = 0\),
\(\frac{2}{5}x = 3\),
\(x = 3 \cdot \frac{5}{2} = 7.5\).
Точка пересечения с осью абсцисс: \((7.5; 0)\).

Ответ: \((0; -3); (7.5; 0)\).

2) \(g(x) = \frac{8x — 1}{x + 2}\)

Пересечение с осью ординат находится подстановкой \(x = 0\):
\(g(0) = \frac{8 \cdot 0 — 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2} = -0.5\).
Точка пересечения с осью ординат: \((0; -0.5)\).

Пересечение с осью абсцисс находится из уравнения \(g(x) = 0\):
\(\frac{8x — 1}{x + 2} = 0 \Rightarrow 8x — 1 = 0\),
\(8x = 1\),
\(x = \frac{1}{8}\).
Точка пересечения с осью абсцисс: \(\left(\frac{1}{8}; 0\right)\).

Ответ: \((0; -0.5); \left(\frac{1}{8}; 0\right)\).

3) \(\varphi(x) = x^{2} — 3x + 2\)

Пересечение с осью ординат:
\(\varphi(0) = 0^{2} — 3 \cdot 0 + 2 = 2\),
Точка пересечения с осью ординат: \((0; 2)\).

Пересечение с осью абсцисс из уравнения:
\(x^{2} — 3x + 2 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).
Корни:
\(x_{1} = \frac{3 — 1}{2} = 1\),
\(x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2\).
Точки пересечения с осью абсцисс: \((1; 0)\), \((2; 0)\).

Ответ: \((0; 2); (1; 0); (2; 0)\).

4) \(g(x) = \frac{x^{2} — 5}{x^{2} + 1}\)

Пересечение с осью ординат:
\(g(0) = \frac{0^{2} — 5}{0^{2} + 1} = \frac{-5}{1} = -5\).
Точка пересечения с осью ординат: \((0; -5)\).

Пересечение с осью абсцисс из уравнения:
\(\frac{x^{2} — 5}{x^{2} + 1} = 0 \Rightarrow x^{2} — 5 = 0\),
\(x^{2} = 5\),
\(x = \pm \sqrt{5}\).
Точки пересечения с осью абсцисс: \((- \sqrt{5}; 0)\), \((\sqrt{5}; 0)\).

Ответ: \((0; -5); (-\sqrt{5}; 0); (\sqrt{5}; 0)\).