Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 76 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что функция:
1) \(f(x) = \frac{-7}{x — 5}\) убывает на промежутке \((5; +\infty)\);
2) \(f(x) = x^2 + 6x\) возрастает на промежутке \([-3; +\infty)\).
1) Для функции \( f(x) = \frac{-7}{x — 5} \) на промежутке \( (5; +\infty) \):
Пусть \( x_2 > x_1 > 5 \), тогда
\( f(x_2) — f(x_1) = \frac{-7}{x_2 — 5} — \frac{-7}{x_1 — 5} = -7 \frac{(x_1 — 5) — (x_2 — 5)}{(x_2 — 5)(x_1 — 5)} = -7 \frac{x_1 — x_2}{(x_2 — 5)(x_1 — 5)} \).
Так как \( x_2 > x_1 \), то \( x_1 — x_2 < 0 \), и при \( x > 5 \), знаменатели положительны, значит
\( f(x_2) — f(x_1) < 0 \), функция убывает. 2) Для функции \( f(x) = x^2 + 6x \) на промежутке \( [-3; +\infty) \): Пусть \( x_2 > x_1 \geq -3 \), тогда
\( f(x_2) — f(x_1) = (x_2^2 + 6x_2) — (x_1^2 + 6x_1) = (x_2^2 — x_1^2) + 6(x_2 — x_1) \)
\( = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) + 6(x_2 — x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 6) \).
При \( x_1, x_2 \geq -3 \) имеем \( x_2 + x_1 + 6 \geq 0 \) и \( x_2 — x_1 > 0 \), значит
\( f(x_2) — f(x_1) > 0 \), функция возрастает.
1) Пусть функция \( f(x) = \frac{-7}{x — 5} \) и рассмотрим промежуток \( (5; +\infty) \).
Пусть \( x_2 > x_1 > 5 \). Тогда вычислим разность значений функции в точках \( x_2 \) и \( x_1 \):
\( f(x_2) — f(x_1) = \frac{-7}{x_2 — 5} — \frac{-7}{x_1 — 5} = -7 \left(\frac{1}{x_2 — 5} — \frac{1}{x_1 — 5}\right) \).
Приведём к общему знаменателю:
\( = -7 \frac{(x_1 — 5) — (x_2 — 5)}{(x_2 — 5)(x_1 — 5)} = -7 \frac{x_1 — x_2}{(x_2 — 5)(x_1 — 5)} \).
Так как \( x_2 > x_1 \), то \( x_1 — x_2 < 0 \). При этом \( x_1 - 5 > 0 \) и \( x_2 — 5 > 0 \), следовательно, знаменатель положителен.
Значит, \( f(x_2) — f(x_1) < 0 \), то есть \( f(x_2) < f(x_1) \). Это доказывает, что функция убывает на промежутке \( (5; +\infty) \). 2) Пусть функция \( f(x) = x^2 + 6x \) и рассмотрим промежуток \( [-3; +\infty) \). Пусть \( x_2 > x_1 \geq -3 \). Рассмотрим разность значений функции:
\( f(x_2) — f(x_1) = (x_2^2 + 6x_2) — (x_1^2 + 6x_1) = (x_2^2 — x_1^2) + 6(x_2 — x_1) \).
Разложим разность квадратов:
\( = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) + 6(x_2 — x_1) = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 6) \).
Так как \( x_2 > x_1 \), то \( x_2 — x_1 > 0 \).
При \( x_1, x_2 \geq -3 \), сумма \( x_2 + x_1 + 6 \geq -3 + (-3) + 6 = 0 \), следовательно \( x_2 + x_1 + 6 > 0 \).
Значит, произведение \( (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 + 6) > 0 \), и \( f(x_2) > f(x_1) \).
Это доказывает, что функция возрастает на промежутке \( [-3; +\infty) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.