ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 8 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(a > b\). Сравните:
1) \(a + 1\) и \(b\);
2) \(a\) и \(b — 4\);
3) \(a + 2\) и \(b — 3\);
4) \(a — 3\) и \(b — 2\).

1) \(a + 1 > b\), так как \((a + 1) — b = (a — b) + 1 > 0\).

2) \(a > b — 4\), так как \(a — (b — 4) = (a — b) + 4 > 0\).

3) \(a + 2 > b — 3\), так как \((a + 2) — (b — 3) = (a — b) + 5 > 0\).

4) сравнить невозможно, так как \((a — 3) — (b — 2) = (a — b) — 1\), а \((a — b) > 0\), но \((a — b) — 1\) может быть как положительным, так и отрицательным.

1) Рассмотрим неравенство \(a > b\), где \(a\) и \(b\) — два числа, и нам нужно сравнить \(a + 1\) и \(b\). Чтобы это сделать, вычислим разность \((a + 1) — b\). Раскроем скобки: \((a + 1) — b = a — b + 1\). Поскольку из условия известно, что \(a > b\), то разность \(a — b\) положительна, то есть \(a — b > 0\). Добавляя к положительному числу единицу, мы получаем ещё большее положительное число: \(a — b + 1 > 0\). Это означает, что число \(a + 1\) больше числа \(b\), так как разность между ними положительна. Следовательно, неравенство \(a + 1 > b\) верно.

Далее, чтобы убедиться в правильности, можно рассмотреть конкретные числовые примеры. Если взять, например, \(a = 5\) и \(b = 3\), то \(a — b = 2 > 0\). Тогда \(a + 1 = 6\), а \(b = 3\), и действительно \(6 > 3\). Это подтверждает общее рассуждение. Таким образом, прибавление единицы к \(a\), которое уже больше \(b\), только увеличивает разницу между ними.

Итог: с учётом того, что \(a > b\), прибавление единицы к \(a\) гарантирует, что \(a + 1\) будет строго больше \(b\). Это является прямым следствием свойств неравенств и арифметики.

2) Теперь сравним \(a\) и \(b — 4\). Для этого вычислим разность \(a — (b — 4)\). Раскроем скобки: \(a — b + 4\). Из условия известно, что \(a > b\), то есть \(a — b > 0\). Прибавляя к положительному числу \(a — b\) число 4, мы получаем ещё большее положительное число: \(a — b + 4 > 0\). Это означает, что \(a\) больше, чем \(b — 4\).

Чтобы понять это наглядно, представим, что \(a = 7\), \(b = 5\). Тогда \(a — b = 2 > 0\). Вычислим \(b — 4 = 1\). Сравним \(a = 7\) и \(b — 4 = 1\). Очевидно, что \(7 > 1\), что подтверждает наше рассуждение. Значит, если \(a\) больше \(b\), то оно будет также больше \(b\), уменьшенного на 4.

Таким образом, неравенство \(a > b — 4\) верно при условии \(a > b\), поскольку вычитание 4 из \(b\) уменьшает его значение, а \(a\) остаётся больше.

3) Рассмотрим сравнение \(a + 2\) и \(b — 3\). Найдём разность: \((a + 2) — (b — 3) = a — b + 5\). По условию \(a > b\), значит \(a — b > 0\). Прибавляя к положительному числу 5, получаем ещё более положительное значение: \(a — b + 5 > 0\). Это означает, что \(a + 2 > b — 3\).

Для примера возьмём \(a = 10\), \(b = 7\). Тогда \(a — b = 3 > 0\). Вычислим \(a + 2 = 12\) и \(b — 3 = 4\). Очевидно, что \(12 > 4\), что подтверждает общее утверждение. Прибавление 2 к \(a\) и вычитание 3 из \(b\) усиливает разницу между ними.

Таким образом, из условия \(a > b\) следует, что \(a + 2\) будет строго больше \(b — 3\), что является следствием арифметических операций и свойства неравенств.

4) Рассмотрим сравнение \(a — 3\) и \(b — 2\). Найдём разность: \((a — 3) — (b — 2) = a — b — 1\). Из условия известно, что \(a > b\), значит \(a — b > 0\). Однако теперь мы вычитаем 1 из положительного числа \(a — b\), и результат может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от величины \(a — b\).

Если \(a — b > 1\), то \(a — b — 1 > 0\), значит \(a — 3 > b — 2\). Если же \(0 < a - b < 1\), то \(a - b - 1 < 0\), и тогда \(a - 3 < b - 2\). В случае \(a - b = 1\) разность равна нулю, и числа равны. Например, если \(a = 5\), \(b = 3\), то \(a - b = 2 > 1\), значит \(a — 3 = 2\), \(b — 2 = 1\), и \(2 > 1\). Если же \(a = 4\), \(b = 3.5\), то \(a — b = 0.5 < 1\), тогда \(a - 3 = 1\), \(b - 2 = 1.5\), и \(1 < 1.5\). Таким образом, без дополнительной информации о величине \(a - b\) нельзя однозначно определить, какое из чисел \(a - 3\) и \(b - 2\) больше. Следовательно, сравнить их невозможно.