ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 85 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = (x — 6)^2 — 9\). Используя этот график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

1) Нули функции:
\( (x — 6)^2 — 9 = 0 \Rightarrow (x — 6)^2 = 9 \Rightarrow x — 6 = \pm 3 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = 9 \).

2) Функция принимает положительные значения при
\( x \in (-\infty; 3) \cup (9; +\infty) \).

3) Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на \( (-\infty; 6] \), возрастает на \( [6; +\infty) \).

4) Область значений функции:
\( y \in [-9; +\infty) \).

1) Нули функции:
Рассмотрим уравнение \( (x — 6)^2 — 9 = 0 \).
Переносим -9 вправо: \( (x — 6)^2 = 9 \).
Извлекаем корень: \( x — 6 = \pm 3 \).
Отсюда получаем два значения: \( x_1 = 6 — 3 = 3 \) и \( x_2 = 6 + 3 = 9 \).

2) Функция принимает положительные значения, когда \( y > 0 \), то есть
\( (x — 6)^2 — 9 > 0 \Rightarrow (x — 6)^2 > 9 \).
Это верно, когда \( x — 6 > 3 \) или \( x — 6 < -3 \), то есть
\( x > 9 \) или \( x < 3 \).
Таким образом, область положительных значений функции:
\( x \in (-\infty; 3) \cup (9; +\infty) \).

3) Промежутки возрастания и убывания функции определяются положением вершины параболы и направлением ветвей.
Вершина функции находится в точке \( x = 6 \),
так как функция имеет вид \( y = (x — 6)^2 — 9 \) — парабола с ветвями вверх.
На промежутке \( (-\infty; 6] \) функция убывает, так как значения \( y \) уменьшаются по мере приближения к вершине.
На промежутке \( [6; +\infty) \) функция возрастает, так как значения \( y \) увеличиваются после вершины.

4) Область значений функции — множество всех возможных значений \( y \).
Минимальное значение функции достигается в вершине параболы:
\( y_{min} = (6 — 6)^2 — 9 = 0 — 9 = -9 \).
Поскольку парабола направлена вверх, значения функции могут быть любыми от \(-9\) до \(+\infty\).
Поэтому область значений:
\( E(f) = [-9; +\infty) \).