ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 91 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = x^2 + 2x — 8\). Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства \(f(x) \geq 0\); \(f(x) < 0\).

Функция \(f(x) = x^2 + 2x — 8\).

Вершина параболы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1\),
\(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 8 = 1 — 2 — 8 = -9\).

1) Наибольшее значение функции не существует (парабола вверх), наименьшее: \(y_{\min} = -9\).
2) Область значений функции: \(E(f) = [-9; +\infty)\).
3) Промежуток возрастания: \((-1; +\infty)\), промежуток убывания: \((-\infty; -1)\).
4) Решения неравенств:
\(f(x) \geq 0\), если \(x \in (-\infty; -4] \cup [2; +\infty)\),
\(f(x) < 0\), если \(x \in (-4; 2)\).

1) Найдём координаты вершины параболы функции \(f(x) = x^2 + 2x — 8\). Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -8\).
Координата по оси \(x\) вычисляется по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\).
Подставим \(x_0\) в функцию для нахождения \(y_0\):
\(y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 8 = 1 — 2 — 8 = -9\).
Таким образом, вершина параболы в точке \((-1; -9)\).

2) Наибольшее значение функции не существует, так как парабола направлена вверх (коэффициент \(a > 0\)), функция неограниченно возрастает. Наименьшее значение функции равно \(y_{\min} = -9\), оно достигается в вершине.

3) Область значений функции — множество всех значений \(y\), которые принимает функция. Поскольку вершина — минимальная точка, область значений:
\(E(f) = [-9; +\infty)\).

4) Промежутки возрастания и убывания функции определяются по положению вершины:
Функция убывает на интервале \((-\infty; -1]\),
функция возрастает на интервале \([-1; +\infty)\).

5) Найдём множество решений неравенства \(f(x) \geq 0\).
Решаем уравнение \(x^2 + 2x — 8 = 0\).
Дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\).
Корни:
\(x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 — 6}{2} = -4\),
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\).
Парабола направлена вверх, значит функция \(f(x) \geq 0\) на промежутках:
\((-\infty; -4] \cup [2; +\infty)\).

6) Множество решений неравенства \(f(x) < 0\) — это промежуток между корнями:
\((-4; 2)\).