ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 92 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = 4x — 2x^2\). Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства \(f(x) \leq 0\); \(f(x) > 0\).

Функция \(f(x) = 4x — 2x^2\).

1) Наибольшее значение: \(y_{\text{наиб}} = 2\); наименьшее значения нет.

2) Область значений: \(E(f) = (-\infty; 2]\).

3) Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на \((-\infty; 1]\);
Функция убывает на \([1; +\infty)\).

4) Множество решений неравенств:
\(f(x) \leq 0\), если \(x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)\);
\(f(x) > 0\), если \(x \in (0; 2)\).

1) Найдём координаты вершины параболы функции \(f(x) = 4x — 2x^2\).
Коэффициенты: \(a = -2\), \(b = 4\).
Координата вершины по оси \(x\):
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{4} = 1\).
Координата вершины по оси \(y\):
\(y_0 = f(1) = 4 \cdot 1 — 2 \cdot 1^2 = 4 — 2 = 2\).
Таким образом, вершина параболы в точке \((1; 2)\).

2) Найдём значения функции в некоторых точках:

3) Наибольшее значение функции — это значение в вершине, так как парабола направлена вниз:
\(y_{\text{наиб}} = 2\).
Наименьшего значения функция не имеет, так как убывает до минус бесконечности.

4) Область значений функции:
\(E(f) = (-\infty; 2]\).

5) Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке \((-\infty; 1]\), так как производная положительна.
Функция убывает на промежутке \([1; +\infty)\), так как производная отрицательна.

6) Решим неравенства для функции:
\(f(x) \leq 0\) означает \(4x — 2x^2 \leq 0\), или \(2x(2 — x) \leq 0\).
Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = 2\).
Знак функции меняется в этих точках, поэтому:
\(f(x) \leq 0\), если \(x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)\).

7) Для \(f(x) > 0\) получаем:
\(x \in (0; 2)\).