ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 95 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:
1) \(f(x) = 3x^2 — 6x + 1\);
2) \(f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 10\);
3) \(f(x) = 9 — 18x — 0,6x^2\);
4) \(f(x) = 11x^2 — 3x\).

1) \( f(x) = 3x^2 — 6x + 1 \)
\( a = 3 > 0 \), ветви вверх,
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{6} = 1 \),
\( y_0 = 3 \cdot 1^2 — 6 \cdot 1 + 1 = -2 \),
Область значений: \( E(f) = [-2; +\infty) \),
Возрастает на \([1; +\infty)\), убывает на \((-\infty; 1]\).

2) \( f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 10 \)
\( a = -\frac{1}{2} < 0 \), ветви вниз, \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2 \), \( y_0 = -\frac{1}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 10 = 12 \), Область значений: \( E(f) = (-\infty; 12] \), Возрастает на \((-\infty; 2]\), убывает на \([2; +\infty)\). 3) \( f(x) = 9 - 18x - 0.6x^2 \) \( a = -0.6 < 0 \), ветви вниз, \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-18}{2 \cdot (-0.6)} = -15 \), \( y_0 = 9 - 18 \cdot (-15) - 0.6 \cdot (-15)^2 = 144 \), Область значений: \( E(f) = (-\infty; 144] \), Возрастает на \((-\infty; -15]\), убывает на \([-15; +\infty)\). 4) \( f(x) = 11x^2 - 3x \) \( a = 11 > 0 \), ветви вверх,
\( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 11} = \frac{3}{22} \),
\( y_0 = 11 \left(\frac{3}{22}\right)^2 — 3 \cdot \frac{3}{22} = -\frac{9}{44} \),
Область значений: \( E(f) = \left[-\frac{9}{44}; +\infty\right) \),
Возрастает на \(\left[\frac{3}{22}; +\infty\right)\), убывает на \(\left(-\infty; \frac{3}{22}\right]\).

1) \( f(x) = 3x^2 — 6x + 1 \);
Коэффициент при \(x^2\) равен \(a = 3 > 0\), значит парабола ветвями направлена вверх.
Найдем координату вершины по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1\).
Подставим \(x_0\) в функцию:
\(y_0 = 3 \cdot 1^2 — 6 \cdot 1 + 1 = 3 — 6 + 1 = -2\).
Область значений функции: \(E(f) = [-2; +\infty)\).
Функция возрастает на промежутке \([1; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 1]\).

2) \( f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 10 \);
Коэффициент при \(x^2\) равен \(a = -\frac{1}{4} < 0\), значит парабола ветвями направлена вниз. Вычислим вершину: \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = 4\). Подставим в функцию: \(y_0 = -\frac{1}{4} \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + 10 = -4 + 8 + 10 = 14\). Область значений: \(E(f) = (-\infty; 14]\). Функция возрастает на \((-\infty; 4]\) и убывает на \([4; +\infty)\). 3) \( f(x) = 9 - 18x - 0.6x^2 \); Коэффициент при \(x^2\) равен \(a = -0.6 < 0\), парабола ветвями направлена вниз. Найдем вершину: \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-18}{2 \cdot (-0.6)} = -15\). Подставим в функцию: \(y_0 = 9 - 18 \cdot (-15) - 0.6 \cdot (-15)^2 = 9 + 270 - 135 = 144\). Область значений: \(E(f) = (-\infty; 144]\). Функция возрастает на \((-\infty; -15]\) и убывает на \([-15; +\infty)\). 4) \( f(x) = 11x^2 - 3x \); Коэффициент \(a = 11 > 0\), ветви направлены вверх.
Вершина:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 11} = \frac{3}{22}\).
Подставим в функцию:
\(y_0 = 11 \left(\frac{3}{22}\right)^2 — 3 \cdot \frac{3}{22} = 11 \cdot \frac{9}{484} — \frac{9}{22} = \frac{99}{484} — \frac{198}{484} = -\frac{99}{484} = -\frac{9}{44}\).
Область значений: \(E(f) = \left[-\frac{9}{44}; +\infty\right)\).
Функция возрастает на \(\left[\frac{3}{22}; +\infty\right)\) и убывает на \(\left(-\infty; \frac{3}{22}\right]\).