ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 96 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции:
\(f(x) = \begin{cases}
3 — x, \text{ если } x \leq -1, \\
x^2 — 2x + 1, \text{ если } -1 < x < 3, \\ 4, \text{ если } x \geq 3. \end{cases}\) 2) \(f(x) = \begin{cases} 3x - 4, \text{ если } x \leq 2, \\ 9 - x^2, \text{ если } 2 < x < 4, \\ x, \text{ если } x \geq 4. \end{cases}\)

1) Функция \(f(x) = \begin{cases} 3 — x, & \text{если } x \leq -1, \\ x^2 — 2x + 1, & \text{если } -1 < x < 3, \\ 4, & \text{если } x \geq 3. \end{cases}\)

Проверим значения функции в ключевых точках:

График функции состоит из трёх частей:
— Прямая \(y = 3 — x\) при \(x \leq -1\), убывающая с точки \((-1; 4)\).
— Парабола \(y = (x-1)^2\) на промежутке \((-1; 3)\), принимающая минимум \(y=0\) в точке \(x=1\).
— Постоянная функция \(y = 4\) при \(x \geq 3\).

2) Функция \(f(x) = \begin{cases} 3x — 4, & \text{если } x \leq 2, \\ 9 — x^2, & \text{если } 2 < x < 4, \\ x, & \text{если } x \geq 4. \end{cases}\)

Проверим значения функции в ключевых точках:

График функции состоит из трёх частей:
— Прямая \(y = 3x — 4\) при \(x \leq 2\), проходящая через точки \((0; -4)\) и \((2; 2)\).
— Парабола \(y = 9 — x^2\) на промежутке \((2; 4)\), имеющая вершину в точке \(x=0\) с \(y=9\), но здесь рассматриваем только часть между \(x=2\) и \(x=4\).
— Прямая \(y = x\) при \(x \geq 4\), проходящая через \((4; 4)\) и \((6; 6)\).

1) Функция \(f(x) = \begin{cases} 3 — x, & \text{если } x \leq -1, \\ x^{2} — 2x + 1, & \text{если } -1 < x < 3, \\ 4, & \text{если } x \geq 3. \end{cases}\)

Для построения графика функции вычислим значения в характерных точках.

В точке \(x = -1\) используем первую часть функции:
\(f(-1) = 3 — (-1) = 4\).

Для интервала \(-1 < x < 3\) функция задана как \(f(x) = x^{2} — 2x + 1 = (x — 1)^{2}\).
Значения в некоторых точках:
При \(x = 0\), \(f(0) = 0^{2} — 2 \cdot 0 + 1 = 1\).
При \(x = 2\), \(f(2) = 2^{2} — 2 \cdot 2 + 1 = 4 — 4 + 1 = 1\).

В точке \(x = 3\) функция равна \(4\).

Таким образом, значения функции:

График состоит из трёх частей:
— Прямая \(y = 3 — x\) при \(x \leq -1\), убывающая линия, проходящая через точку \((-1; 4)\).
— Парабола \(y = (x — 1)^{2}\) на интервале \((-1; 3)\), минимальное значение которой равно 0 при \(x = 1\).
— Константа \(y = 4\) при \(x \geq 3\).

2) Функция \(f(x) = \begin{cases} 3x — 4, & \text{если } x \leq 2, \\ 9 — x^{2}, & \text{если } 2 < x < 4, \\ x, & \text{если } x \geq 4. \end{cases}\)

Рассчитаем значения функции в ключевых точках.

Для \(x \leq 2\) функция линейная: \(f(x) = 3x — 4\).
При \(x = 0\), \(f(0) = 3 \cdot 0 — 4 = -4\).
При \(x = 2\), \(f(2) = 3 \cdot 2 — 4 = 6 — 4 = 2\).

Для \(2 < x < 4\) функция параболическая: \(f(x) = 9 — x^{2}\).
Вершина параболы находится по формуле
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0\),
\(y_{0} = 9 — 0^{2} = 9\).
Значения в точках:
При \(x = 3\), \(f(3) = 9 — 3^{2} = 9 — 9 = 0\).
При \(x = 4\), \(f(4) = 9 — 4^{2} = 9 — 16 = -7\).

Для \(x \geq 4\) функция линейная: \(f(x) = x\).
При \(x = 4\), \(f(4) = 4\).
При \(x = 6\), \(f(6) = 6\).

Таблица значений:

График функции состоит из трёх частей:
— Прямая \(y = 3x — 4\) на интервале \((-\infty; 2]\), проходящая через точки \((0; -4)\) и \((2; 2)\).
— Парабола \(y = 9 — x^{2}\) на интервале \((2; 4)\), убывающая от 2 к -7.
— Прямая \(y = x\) на интервале \([4; +\infty)\), проходящая через точки \((4; 4)\) и \((6; 6)\).