ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 1 Номер 11 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если \(0 < a < b\), то \(a < \sqrt{ab} < b\).

\( a < \sqrt{ab} < b \), если \( 0 < a < b \).

Возведем все части неравенства в квадрат:

\( a^{2} < (\sqrt{ab})^{2} < b^{2} \Rightarrow a^{2} < ab < b^{2} \).

Заменим данное неравенство системой:
\[
\begin{cases}
a^{2} < ab \\
b^{2} > ab
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
a^{2} — ab < 0 \\
b^{2} — ab > 0
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
ab — a^{2} > 0 \\
b^{2} — ab > 0
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
a(b-a) > 0 \\
b(b-a) > 0
\end{cases}
\]

Поскольку, по условию, \( a > 0 \), \( b > 0 \), \( a < b \), то система верна.

Следовательно, \( a < \sqrt{ab} < b \) при \( 0 < a < b \).

Рассмотрим неравенство \( a < \sqrt{ab} < b \) при условии \( 0 < a < b \). Это значит, что \( a \) и \( b \) — положительные числа, причем \( a \) строго меньше \( b \). Неравенство утверждает, что квадратный корень из произведения этих чисел находится строго между ними. Чтобы доказать это, сначала возведём все части неравенства в квадрат. Получим: \( a^{2} < (\sqrt{ab})^{2} < b^{2} \). Поскольку \( \sqrt{ab} \) — это всегда неотрицательное число для положительных \( a \) и \( b \), возведение в квадрат сохраняет порядок неравенств. Получаем: \( a^{2} < ab < b^{2} \).

Теперь подробнее рассмотрим каждую часть двойного неравенства. Первая часть: \( a^{2} < ab \). Перенесём всё в одну часть: \( a^{2} — ab < 0 \). Вынесем \( a \) за скобки: \( a(a — b) < 0 \). Поскольку по условию \( a > 0 \), знак неравенства определяется выражением \( a — b \). Так как \( a < b \), то \( a — b < 0 \), а значит, произведение \( a(a — b) < 0 \) действительно выполняется.

Рассмотрим вторую часть: \( ab < b^{2} \). Аналогично, перенесём всё в одну часть: \( ab — b^{2} < 0 \). Вынесем \( b \) за скобки: \( b(a — b) < 0 \). Поскольку \( b > 0 \), знак неравенства снова определяется выражением \( a — b \), и, как ранее установлено, \( a — b < 0 \), следовательно, \( b(a — b) < 0 \), что также выполняется.

Таким образом, обе части неравенства \( a^{2} < ab < b^{2} \), а значит, и исходное неравенство \( a < \sqrt{ab} < b \) выполняется при \( 0 < a < b \). Это можно резюмировать системой:
\[
\begin{cases}
a(a-b)<0 \\
b(a-b)<0
\end{cases}
\]
которая верна при \( a>0 \), \( b>0 \), \( a < b \). Следовательно, действительно, для любых положительных чисел \( a \) и \( b \), где \( a < b \), справедливо неравенство \( a < \sqrt{ab} < b \).