ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 1 Номер 6 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите неравенство.

1) \((m — 3)(m — 5) > m(m — 8)\)

2) \((a — 10)(a + 2) < (a — 9)(a + 1)\)

3) \(5c^2 — 12c + 3 < (3c — 2)^2\)

4) \((2a — 1)(2a + 1) > (a — 2)(a + 2)\)

5) \(b(b — 8)\ ?\ -16\)

1) \((m — 3)(m — 5) > m(m — 8)\).
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства:
\((m — 3)(m — 5) — m(m — 8) = m^2 — 5m — 3m + 15 — m^2 + 8m = 15\).
Получили, что разность левой и правой частей неравенства является положительным числом при любом значении \(m\). Следовательно, \((m — 3)(m — 5) > m(m — 8)\).

2) \((a — 10)(a + 2) < (a — 9)(a + 1)\).
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства:
\((a — 10)(a + 2) — (a — 9)(a + 1) = a^2 + 2a — 10a — 20 — (a^2 + a — 9a — 9) =\)
\(= a^2 — 8a — 20 — (a^2 — 8a — 9) = a^2 — 8a — 20 — a^2 + 8a + 9 = -11\).
Получили, что разность левой и правой частей неравенства является отрицательным числом при любом значении \(a\). Следовательно, \((a — 10)(a + 2) < (a — 9)(a + 1)\).

3) \(5c^2 — 12c + 3 < (3c — 2)^2\).
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства:
\(5c^2 — 12c + 3 — (3c — 2)^2 = 5c^2 — 12c + 3 — (9c^2 — 12c + 4) =\)
\(= 5c^2 — 12c + 3 — 9c^2 + 12c — 4 = -4c^2 — 1 = -4c^2 + (-1)\).
При любом значении \(c\) имеем: \(-4c^2 < 0\).
Сумма неположительного числа \(-4c^2\) и отрицательного числа \(-1\) является числом отрицательным.
Следовательно, \(-4c^2 — 1 < 0\). Отсюда следует, что \(5c^2 — 12c + 3 < (3c — 2)^2\) при любом значении \(c\).

4) \((2a — 1)(2a + 1) > (a — 2)(a + 2)\).
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства:
\((2a — 1)(2a + 1) — (a — 2)(a + 2) = 4a^2 — 1 — (a^2 — 4) = 4a^2 — 1 — a^2 + 4 =\)
\(= 3a^2 + 3\).
При любом значении \(a\) имеем: \(3a^2 \geq 0\).
Сумма неотрицательного числа \(3a^2\) и положительного числа \(3\) является числом положительным.
Следовательно, \(3a^2 + 3 > 0\). Отсюда следует, что \((2a — 1)(2a + 1) > (a — 2)(a + 2)\) при любом значении \(a\).

5) \(b(b — 8) \geq -16\).
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства:
\(b(b — 8) — (-16) = b^2 — 8b + 16 = (b — 4)^2\).
При любом значении \(b\) имеем: \((b — 4)^2 \geq 0\).
Следовательно, \(b(b — 8) \geq -16\) при любом значении \(b\).

1) Для доказательства неравенства \((m — 3)(m — 5) > m(m — 8)\) рассмотрим разницу между левой и правой частью. Раскроем скобки: \((m — 3)(m — 5) = m^2 — 5m — 3m + 15 = m^2 — 8m + 15\), а \(m(m — 8) = m^2 — 8m\). Теперь вычтем правую часть из левой: \(m^2 — 8m + 15 — (m^2 — 8m) = m^2 — 8m + 15 — m^2 + 8m = 15\). Получается, что разность всегда равна 15, независимо от значения \(m\). Это значит, что левая часть всегда больше правой на 15 для любого значения \(m\). Следовательно, неравенство выполняется при всех \(m\), так как \(15 > 0\).

Если рассмотреть смысл этого результата, то видно, что обе стороны неравенства — это квадратичные выражения, но при вычитании все переменные сокращаются, и остается только константа. Это означает, что графики этих функций параллельны и отличаются на постоянную величину 15 по всей области определения. Таким образом, неравенство выполняется при любых действительных \(m\).

Такой результат встречается нечасто, когда разность между двумя выражениями не зависит от переменной. Это говорит о том, что неравенство не только выполняется всегда, но и выполняется с одинаковым запасом для всех возможных значений переменной.

2) Для неравенства \((a — 10)(a + 2) < (a — 9)(a + 1)\) аналогично рассмотрим разницу между левой и правой частью. Раскроем скобки: \((a — 10)(a + 2) = a^2 + 2a — 10a — 20 = a^2 — 8a — 20\), \((a — 9)(a + 1) = a^2 + a — 9a — 9 = a^2 — 8a — 9\). Теперь найдём разность: \(a^2 — 8a — 20 — (a^2 — 8a — 9) = a^2 — 8a — 20 — a^2 + 8a + 9 = -11\). Разность всегда равна \(-11\), то есть левая часть меньше правой на 11 при любом \(a\).

Это означает, что для всех значений переменной \(a\) неравенство выполняется с одинаковым «запасом» в 11 единиц. Если построить графики этих функций, то они будут совпадать по форме, но одна из них будет всегда ниже другой на 11 единиц.

Такой результат — частный случай, когда разность между двумя квадратичными выражениями является постоянной отрицательной величиной. Это гарантирует выполнение неравенства для всех реальных значений \(a\), так как \(-11 < 0\).

3) Рассмотрим неравенство \(5c^2 — 12c + 3 < (3c — 2)^2\). Сначала раскроем скобки в правой части: \((3c — 2)^2 = 9c^2 — 12c + 4\). Теперь вычтем правую часть из левой: \(5c^2 — 12c + 3 — (9c^2 — 12c + 4) = 5c^2 — 12c + 3 — 9c^2 + 12c — 4 =\)
\(= (5c^2 — 9c^2) + (-12c + 12c) + (3 — 4) = -4c^2 — 1\).

Теперь рассмотрим, когда выражение \(-4c^2 — 1\) меньше нуля. Так как \(c^2\) всегда неотрицательно, то \(-4c^2\) всегда неположительно, а \(-1\) — отрицательно. Сумма неположительного и отрицательного чисел всегда отрицательна, значит, \(-4c^2 — 1 < 0\) при любом значении \(c\).

Это значит, что исходное неравенство верно для всех \(c\). Если посмотреть на графики, то парабола \(5c^2 — 12c + 3\) всегда лежит ниже параболы \(9c^2 — 12c + 4\) на расстояние, которое зависит от \(c\), но всегда отрицательно.

4) Для неравенства \((2a — 1)(2a + 1) > (a — 2)(a + 2)\) раскроем скобки: \((2a — 1)(2a + 1) = 4a^2 — 1\), \((a — 2)(a + 2) = a^2 — 4\). Найдём разность: \(4a^2 — 1 — (a^2 — 4) = 4a^2 — 1 — a^2 + 4 = 3a^2 + 3\).

Теперь рассмотрим, когда выражение \(3a^2 + 3\) положительно. \(a^2\) всегда неотрицательно, значит \(3a^2\) тоже неотрицательно, а \(3\) — положительно. Сумма неотрицательного и положительного числа всегда положительна, значит, \(3a^2 + 3 > 0\) при любом \(a\).

Таким образом, левая часть неравенства всегда больше правой, причём разница увеличивается при увеличении модуля \(a\), так как квадратичный член становится всё больше.

5) Для неравенства \(b(b — 8) \geq -16\) рассмотрим разность: \(b(b — 8) — (-16) = b^2 — 8b + 16 = (b — 4)^2\). Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть \((b — 4)^2 \geq 0\) при любом \(b\).

Это значит, что исходное неравенство выполняется для всех действительных \(b\), причём разница между левой и правой частью выражается через квадрат, который всегда не меньше нуля. Таким образом, неравенство справедливо для всех значений переменной.