ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 1 Номер 7 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

7. Докажите неравенство.
1) \(2b^2 — 10b + 26 > 0\)
2) \(x^2 + 10y^2 \, ? \, 6xy\)
3) \(8(a^2 + 5) \, ? \, 32(a — 1)\)

1) \(2b^2 — 10b + 26 > 0\).
Имеем:
\(2b^2 — 10b + 26 = b^2 + b^2 — 10b + 25 + 1 = (b^2 — 10b + 25) + b^2 + 1 =\)
\(= (b — 5)^2 + b^2 + 1\).
При любом значении \(b\) имеем: \((b — 5)^2 \geq 0\) и \(b^2 \geq 0\).
Сумма неотрицательных чисел \((b — 5)^2\) и \(b^2\), и положительного числа 1 является числом положительным.
Следовательно, \((b — 5)^2 + b^2 + 1 > 0\). Отсюда следует, что \(2b^2 — 10b + 26 > 0\) при любом значении \(b\).

2) \(x^2 + 10y^2 \geq 6xy\).
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства:
\(x^2 + 10y^2 — 6xy = x^2 — 6xy + 9y^2 + y^2 = (x — 3y)^2 + y^2\).
Поскольку \((x — 3y)^2 \geq 0\) и \(y^2 \geq 0\) при любых значениях \(x\) и \(y\), то \((x — 3y)^2 + y^2 \geq 0\) при любых значениях \(x\) и \(y\).
Следовательно, \(x^2 + 10y^2 \geq 6xy\) при любых значениях \(x\) и \(y\).

3) \(8(a^2 + 5) \geq 32(a — 1)\).
Рассмотрим разность левой и правой частей данного неравенства:
\(8(a^2 + 5) — 32(a — 1) = 8a^2 + 40 — 32a + 32 = 8a^2 — 32a + 72 =\)
\(= 4a^2 + 4a^2 — 32a + 64 + 8 = (4a^2 — 32a + 64) + 4a^2 + 8 =\)
\(= (2a — 8)^2 + 4a^2 + 8\).
При любом значении \(a\) имеем: \((2a — 8)^2 \geq 0\) и \(4a^2 \geq 0\).
Сумма неотрицательных чисел \((2a — 8)^2\) и \(4a^2\), и положительного числа 8 является числом положительным.
Следовательно, \((2a — 8)^2 + 4a^2 + 8 > 0\). Отсюда следует, что \(8(a^2 + 5) \geq 32(a — 1)\) при любом значении \(a\).

1) Для доказательства того, что выражение \(2b^2 — 10b + 26\) всегда больше нуля при любом значении \(b\), сначала преобразуем его. Заметим, что коэффициенты позволяют сгруппировать члены следующим образом: \(2b^2 — 10b + 26 = b^2 + b^2 — 10b + 25 + 1\). Далее выделим полный квадрат из части \(b^2 — 10b + 25\). Это выражение можно записать как \((b — 5)^2\), поскольку раскрытие скобок даст \(b^2 — 10b + 25\). Тогда исходное выражение преобразуется к виду \((b — 5)^2 + b^2 + 1\). Теперь рассмотрим каждую часть отдельно: \((b — 5)^2\) — это квадрат любого числа, а значит, всегда неотрицателен, то есть \((b — 5)^2 \geq 0\). Аналогично, \(b^2\) — это тоже квадрат, который не может быть отрицательным, то есть \(b^2 \geq 0\). К этим двум неотрицательным числам добавляется единица, которая всегда положительна. Таким образом, сумма двух неотрицательных чисел и положительного числа всегда будет строго положительной: \((b — 5)^2 + b^2 + 1 > 0\). Это значит, что исходное выражение \(2b^2 — 10b + 26\) при любом значении \(b\) всегда больше нуля.

2) Неравенство \(x^2 + 10y^2 \geq 6xy\) можно доказать, рассмотрев разность левой и правой частей: \(x^2 + 10y^2 — 6xy\). Преобразуем это выражение: сгруппируем члены так, чтобы выделить полный квадрат. Получаем \(x^2 — 6xy + 9y^2 + y^2\). Первая часть \(x^2 — 6xy + 9y^2\) — это квадрат разности: \((x — 3y)^2\), так как раскрытие скобок даст именно \(x^2 — 6xy + 9y^2\). Вторая часть — это просто \(y^2\). В итоге выражение становится \((x — 3y)^2 + y^2\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому \((x — 3y)^2 \geq 0\) и \(y^2 \geq 0\) для любых \(x\) и \(y\). Сумма этих двух неотрицательных чисел также неотрицательна: \((x — 3y)^2 + y^2 \geq 0\). Следовательно, разность левой и правой частей исходного неравенства всегда неотрицательна, а значит, само неравенство выполняется для любых действительных значений \(x\) и \(y\).

3) Для доказательства неравенства \(8(a^2 + 5) \geq 32(a — 1)\) также рассмотрим разность левой и правой частей: \(8(a^2 + 5) — 32(a — 1)\). Раскроем скобки: \(8a^2 + 40 — 32a + 32\). Приведём подобные: \(8a^2 — 32a + 72\). Заметим, что \(8a^2 — 32a + 64\) — это полный квадрат: \(8a^2 — 32a + 64 = 8(a^2 — 4a + 8)\), но лучше выделить полный квадрат через \(4a^2 — 32a + 64 = (2a — 8)^2\). Тогда \(8a^2 — 32a + 72 = (2a — 8)^2 + 4a^2 + 8\). Действительно, \(4a^2 + 8\) — это всегда положительное выражение, так как квадрат неотрицателен и к нему прибавляется 8. Аналогично, \((2a — 8)^2\) — квадрат, который не может быть отрицательным. Сумма неотрицательных чисел и положительного числа 8 всегда строго положительна: \((2a — 8)^2 + 4a^2 + 8 > 0\). Следовательно, исходное неравенство \(8(a^2 + 5) \geq 32(a — 1)\) выполняется при любом значении \(a\).