ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 1 Номер 8 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

8. Сравните с нулём значение выражения.

1) \(a^3 — 4a^2 + 3a — 12\), если \(a \geq 4\).

2) \(\frac{2a^2 + 2}{3} — \frac{a^2 + a + 2}{6} — \frac{4a^2 + a}{9}\), если \(2 < a < 3\).

1) \(a^3 — 4a^2 + 3a — 12\), если \(a \geq 4\).
Имеем:
\(a^3 — 4a^2 + 3a — 12 = a^2(a — 4) + 3(a — 4) = (a — 4)(a^2 + 3)\).
Поскольку \(a \geq 4\), то \(a — 4 \geq 0\).
При любом значении \(a\) значение выражения \(a^2 + 3\) является положительным числом.
Следовательно, при \(a \geq 4\) произведение \((a — 4)(a^2 + 3) \geq 0\).
Отсюда следует, что \(a^3 — 4a^2 + 3a — 12 \geq 0\) при \(a \geq 4\).

2) \(\frac{2a^2 + 2}{3} — \frac{a^2 + a + 2}{6} — \frac{4a^2 + a}{9}\), если \(2 < a < 3\).
Упростим данное выражение:
\(\frac{2a^2 + 2}{3} — \frac{a^2 + a + 2}{6} — \frac{4a^2 + a}{9} = \frac{6 \cdot (2a^2 + 2) — 3 \cdot (a^2 + a + 2) — 2 \cdot (4a^2 + a)}{18} =\)
\(= \frac{12a^2 + 12 — 3a^2 — 3a — 6 — 8a^2 — 2a}{18} = \frac{a^2 — 5a + 6}{18} = \frac{a(a — 5) + 6}{18}\)
Поскольку \(2 < a < 3\), то \(a — 5 < 0\).
Следовательно, при \(2 < a < 3\) произведение \(a(a — 5) < 0\).
При \(2 < a < 3\) модуль выражения \(a(a — 5)\) больше 6, следовательно, выражение \(a(a — 5) + 6 < 0\).
Таким образом, \(\frac{a(a — 5) + 6}{18} < 0\).
Отсюда следует, что \(\frac{2a^2 + 2}{3} — \frac{a^2 + a + 2}{6} — \frac{4a^2 + a}{9} < 0\) при \(2 < a < 3\).

1) Рассмотрим выражение \(a^3 — 4a^2 + 3a — 12\) при \(a \geq 4\). Для начала разложим его на множители. Заметим, что первые два слагаемых \(a^3 — 4a^2\) можно вынести за скобки \(a^2\), а в последних двух \(3a — 12\) вынесем за скобки 3: \(a^3 — 4a^2 + 3a — 12 = a^2(a — 4) + 3(a — 4)\). Теперь заметим, что в обеих частях есть общий множитель \((a — 4)\), значит, можем вынести его за скобки: \(a^2(a — 4) + 3(a — 4) = (a — 4)(a^2 + 3)\). Теперь рассмотрим отдельно каждый множитель. При \(a \geq 4\) разность \(a — 4 \geq 0\), то есть этот множитель неотрицателен.

Второй множитель \(a^2 + 3\) всегда положителен, поскольку \(a^2\) — это квадрат любого числа, а значит, всегда неотрицателен, а если к нему прибавить 3, получится положительное число для любого значения \(a\). Следовательно, произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно: \((a — 4)(a^2 + 3) \geq 0\). Это означает, что исходное выражение \(a^3 — 4a^2 + 3a — 12 \geq 0\) при \(a \geq 4\).

Таким образом, для любых \(a\), удовлетворяющих неравенству \(a \geq 4\), выражение \(a^3 — 4a^2 + 3a — 12\) принимает значения, которые либо равны нулю, либо положительны. Например, если \(a = 4\), то \(a^3 — 4a^2 + 3a — 12 = 64 — 64 + 12 — 12 = 0\), если \(a > 4\), оба множителя положительны и их произведение тоже положительно.

2) Рассмотрим выражение \(\frac{2a^2 + 2}{3} — \frac{a^2 + a + 2}{6} — \frac{4a^2 + a}{9}\) при \(2 < a < 3\). Для начала приведём все дроби к общему знаменателю, которым будет 18. Первую дробь домножим на 6, вторую на 3, третью на 2: \(\frac{2a^2 + 2}{3} = \frac{6(2a^2 + 2)}{18}\), \(\frac{a^2 + a + 2}{6} = \frac{3(a^2 + a + 2)}{18}\), \(\frac{4a^2 + a}{9} = \frac{2(4a^2 + a)}{18}\). Теперь запишем всё в одну дробь: \(\frac{6(2a^2 + 2) — 3(a^2 + a + 2) — 2(4a^2 + a)}{18}\).

Раскроем скобки в числителе: \(6(2a^2 + 2) = 12a^2 + 12\), \(3(a^2 + a + 2) = 3a^2 + 3a + 6\), \(2(4a^2 + a) = 8a^2 + 2a\). Теперь подставим: \(12a^2 + 12 — 3a^2 — 3a — 6 — 8a^2 — 2a\). Приведём подобные: \(12a^2 — 3a^2 — 8a^2 = a^2\), \( — 3a — 2a = -5a\), \(12 — 6 = 6\). Получаем: \(\frac{a^2 — 5a + 6}{18}\).

Теперь рассмотрим знак числителя на промежутке \(2 < a < 3\). Заметим, что \(a^2 — 5a + 6 = (a — 2)(a — 3)\). На промежутке \(2 < a < 3\) оба множителя отрицательны: \(a — 2 > 0\), \(a — 3 < 0\), их произведение отрицательно. Следовательно, числитель отрицателен, знаменатель 18 положителен, значит, вся дробь отрицательна.

Проверим дополнительное рассуждение: если \(a\) чуть больше 2, например, 2.1, то \(a(a — 5) = 2.1 \times (2.1 — 5) = 2.1 \times (-2.9) = -6.09\), \(a(a — 5) + 6 = -6.09 + 6 = -0.09 < 0\). Если \(a\) ближе к 3, например, 2.9, то \(2.9 \times (2.9 — 5) = 2.9 \times (-2.1) = -6.09\), \( -6.09 + 6 = -0.09 < 0\). Таким образом, при всех \(2 < a < 3\) выражение \(\frac{2a^2 + 2}{3} — \frac{a^2 + a + 2}{6} — \frac{4a^2 + a}{9}\) будет меньше нуля.