ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните пропуски.
1) График функции \(y = f(x) + b\) можно получить в результате _____________ графика функции \(y = f(x)\) на ____________________, если \(b > 0\), и на ____________________, если \(b < 0\).
2) График функции \(y = f(x + a)\) можно получить в результате _____________ графика функции \(y = f(x)\) на ____________________.
3) Графиком функции \(y = k (x + a)^2 + b, k \geq 0\), является _______________ равная ____________, вершина которой находится в точке (________; ________).

1) График функции \(y = f(x) + b\) можно получить в результате параллельного переноса графика функции \(y = f(x)\) на \(b\) единиц вверх, если \(b > 0\), и на \((-b)\) единиц вниз, если \(b < 0\).
2) График функции \(y = f(x + a)\) можно получить в результате параллельного переноса графика функции \(y = f(x)\) на \(a\) единиц влево, если \(a > 0\), и на \((-a)\) единиц вправо, если \(a < 0\).
3) Графиком функции \(y = k(x + a)^2 + b, k \neq 0\), является парабола, равная параболе \(y = kx^2\), вершина которой находится в точке \((-a; b)\).

Рассмотрим подробно, как происходят преобразования графиков функций при добавлении или изменении аргумента и как эти преобразования отражаются на координатной плоскости. Если к функции \(y = f(x)\) прибавить константу \(b\), то получится новая функция \(y = f(x) + b\). Это означает, что каждое значение функции \(f(x)\) увеличивается на \(b\), если \(b > 0\), или уменьшается на \(|b|\), если \(b < 0\). Геометрически это выражается как параллельный перенос графика вверх на \(b\) единиц, если \(b\) положительно, или вниз на \(|b|\) единиц, если \(b\) отрицательно. Например, если исходный график проходит через точку \((x_0, y_0)\), то после преобразования эта точка переместится в \((x_0, y_0 + b)\).

Если вместо изменения значения функции изменить аргумент, то есть рассмотреть функцию \(y = f(x + a)\), то происходит горизонтальный сдвиг графика. При \(a > 0\) график смещается влево на \(a\) единиц, при \(a < 0\) — вправо на \(|a|\) единиц. Для любой точки исходного графика \((x_0, f(x_0))\) новая точка на преобразованном графике будет иметь координаты \((x_0 — a, f(x_0))\). Это связано с тем, что для достижения того же значения функции теперь требуется меньшее или большее значение аргумента \(x\), в зависимости от знака \(a\). Например, если исходная точка была \((2, f(2))\), а \(a = 3\), то после преобразования она станет \((-1, f(2))\).

Особый интерес представляет случай, когда функция имеет вид \(y = k(x + a)^2 + b\), где \(k \neq 0\). Это уравнение параболы, которая получается из стандартной параболы \(y = kx^2\) с помощью двух последовательных преобразований: сдвига по горизонтали и вертикали. Вершина исходной параболы \(y = kx^2\) находится в начале координат \((0, 0)\). После преобразования на \(a\) единиц влево (если \(a > 0\)) или вправо (если \(a < 0\)), а затем на \(b\) единиц вверх (если \(b > 0\)) или вниз (если \(b < 0\)), вершина перемещается в точку \((-a, b)\). Таким образом, уравнение \(y = k(x + a)^2 + b\) описывает параболу, вершина которой находится не в начале координат, а в точке с координатами \((-a, b)\), а сам график сохраняет форму исходной параболы, но может быть растянут или сжат по вертикали в зависимости от значения \(k\).