ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 12 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = \sqrt{x}\). Используя этот график, постройте график функции:
1) \(y = \sqrt{x + 4} + 3\);
2) \(y = \sqrt{x — 1} — 6\).

1) \(y = \sqrt{x + 4} + 3 \rightarrow\) получен в результате параллельного переноса графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 4 единицы влево и на 3 единицы вверх.

2) \(y = \sqrt{x — 1} — 6 \rightarrow\) получен в результате параллельного переноса графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 1 единицу вправо и на 6 единиц вниз.

График функции \(y = \sqrt{x}\) является частью параболы, расположенной в первой четверти координатной плоскости, так как область определения данной функции — все неотрицательные значения \(x\), то есть \(x \geq 0\). В точке \(x = 0\) график начинается из начала координат \((0; 0)\), а при увеличении \(x\) значения функции также возрастают, но рост происходит всё медленнее, потому что функция корня квадратного — возрастающая, но убывающая по скорости роста. Если построить график этой функции, то получится плавная кривая, которая идёт вправо и вверх, начинаясь из точки \((0; 0)\).

Если рассматривать функцию \(y = \sqrt{x + 4} + 3\), то здесь происходят два преобразования относительно исходного графика \(y = \sqrt{x}\). Во-первых, выражение под корнем \(x + 4\) означает сдвиг графика на 4 единицы влево вдоль оси \(x\), потому что для того, чтобы корень был определён, требуется \(x + 4 \geq 0\), то есть \(x \geq -4\). Таким образом, график начинается из точки \((-4; 3)\), а не из начала координат. Во-вторых, к значению функции добавляется 3, что приводит к сдвигу графика вверх на 3 единицы вдоль оси \(y\). В результате, каждая точка исходного графика \(y = \sqrt{x}\) перемещается на 4 единицы влево и на 3 единицы вверх, то есть если исходная точка была \((a; b)\), то новая точка будет \((a — 4; b + 3)\).

Для функции \(y = \sqrt{x — 1} — 6\) также происходят два преобразования. Здесь подкоренное выражение \(x — 1\) означает сдвиг графика на 1 единицу вправо вдоль оси \(x\), так как область определения теперь \(x — 1 \geq 0\), то есть \(x \geq 1\). График начнётся из точки \((1; -6)\). Дополнительное вычитание 6 из значения функции приводит к сдвигу графика вниз на 6 единиц вдоль оси \(y\). То есть каждая точка исходного графика \(y = \sqrt{x}\) перемещается на 1 единицу вправо и на 6 единиц вниз: если исходная точка была \((a; b)\), то новая точка будет \((a + 1; b — 6)\).

Оба преобразования — горизонтальный и вертикальный сдвиги — не изменяют форму графика, а только его положение на координатной плоскости. Важно помнить, что при сдвиге по оси \(x\) направление зависит от знака: если к \(x\) прибавляется число, график сдвигается влево, если вычитается — вправо. При сдвиге по оси \(y\) всё интуитивно: плюс — вверх, минус — вниз. Таким образом, графики функций \(y = \sqrt{x + 4} + 3\) и \(y = \sqrt{x — 1} — 6\) являются результатом параллельных переносов графика \(y = \sqrt{x}\) соответственно на 4 единицы влево и 3 вверх, а также на 1 вправо и 6 вниз.