ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = (x — 3)^2 — 1\). Используя график, заполните пропуски.
1) E(y) = _______________
2) \(y = 0\) при \(x =\) _______________
3) \(y > 0\) при _______________
4) \(y < 0\) при _______________
5) Функция возрастает на _______________
6) Функция убывает на _______________

\( y = (x — 3)^2 — 1 \) — получен в результате параллельного переноса графика функции \( y = x^2 \) на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз:

1) \( E(y) = [-1; +\infty) \)
2) \( y = 0 \) при \( x = 2 \) и \( x = 4 \)
3) \( y > 0 \) при \( x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \)
4) \( y < 0 \) при \( x \in (2; 4) \)
5) Функция возрастает на промежутке \( [3; +\infty) \)
6) Функция убывает на промежутке \( (-\infty; 3) \)

График функции \( y = (x — 3)^2 — 1 \) является результатом параллельного переноса стандартной параболы \( y = x^2 \). Чтобы получить данный график, исходную параболу смещают на 3 единицы вправо, что отражается в выражении \( (x — 3)^2 \), и на 1 единицу вниз, что отражается в вычитании единицы: \( -1 \). Таким образом, вершина новой параболы находится в точке \( (3; -1) \), а ось симметрии — прямая \( x = 3 \). Парабола открывается вверх, так как коэффициент при квадрате положителен.

Область значений функции \( E(y) \) — это все значения, которые может принимать \( y \). Поскольку парабола открывается вверх, её минимальное значение достигается в вершине. Вершина находится в точке \( x = 3 \), тогда \( y_{min} = (3 — 3)^2 — 1 = 0 — 1 = -1 \). Максимальных значений нет, так как ветви параболы уходят вверх бесконечно. Следовательно, область значений функции: \( E(y) = [-1; +\infty) \).

Нули функции — это значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Решим уравнение \( (x — 3)^2 — 1 = 0 \). Переносим 1: \( (x — 3)^2 = 1 \). Извлекаем корень: \( x — 3 = 1 \) или \( x — 3 = -1 \), отсюда \( x_1 = 4 \), \( x_2 = 2 \). То есть функция равна нулю при \( x = 2 \) и \( x = 4 \).

Функция положительна там, где значения параболы выше оси \( x \), то есть \( y > 0 \). Это соответствует интервалам, где \( (x — 3)^2 — 1 > 0 \). Решим неравенство: \( (x — 3)^2 > 1 \). Это возможно при \( x — 3 > 1 \) или \( x — 3 < -1 \), то есть \( x > 4 \) или \( x < 2 \). Поэтому \( y > 0 \) при \( x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \).

Функция отрицательна там, где значения параболы ниже оси \( x \), то есть \( y < 0 \). Решим неравенство: \( (x — 3)^2 — 1 < 0 \), то есть \( (x — 3)^2 < 1 \). Это возможно при \( -1 < x — 3 < 1 \), то есть \( 2 < x < 4 \). Поэтому \( y < 0 \) при \( x \in (2; 4) \).

Исследуем возрастание и убывание функции. Производная функции \( y = (x — 3)^2 — 1 \) равна \( y’ = 2(x — 3) \). Функция возрастает там, где производная положительна: \( 2(x — 3) > 0 \), то есть \( x > 3 \). Поэтому функция возрастает на промежутке \( [3; +\infty) \). Функция убывает там, где производная отрицательна: \( x < 3 \), то есть на промежутке \( (-\infty; 3) \).

Таким образом, парабола \( y = (x — 3)^2 — 1 \) имеет вершину в точке \( (3; -1) \), область значений \( [-1; +\infty) \), нули в точках \( x = 2 \) и \( x = 4 \), положительна при \( x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \), отрицательна при \( x \in (2; 4) \), возрастает на \( [3; +\infty) \) и убывает на \( (-\infty; 3) \).