ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 14 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = \frac{8}{x+5} — 3\). Используя график, заполните пропуски.
1) D(y) = _______________
2) E(y) = _______________
3) y = 0 при _______________
4) y > 0 при _______________
5) y < 0 при _______________
6) Функция убывает на _______________

1) D(y) = \((-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)\)
2) E(y) = \((-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)\)
3) y = 0 при \(x = -2 \frac{1}{3}\)
4) y > 0 при \(x \in (-\infty; -2 \frac{1}{3})\)
5) y < 0 при \(x \in (-\infty; -5) \cup (-2 \frac{1}{3}; +\infty)\)
6) Функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)\)

Функция \(y = \frac{8}{x+5} — 3\) является преобразованием стандартной гиперболы \(y = \frac{8}{x}\). В данном случае происходит сдвиг графика на 5 единиц влево по оси \(x\), что реализуется заменой \(x\) на \(x+5\), и на 3 единицы вниз по оси \(y\), что реализуется вычитанием 3. Поэтому область определения функции, то есть значения \(x\), при которых выражение имеет смысл, исключает точку, где знаменатель обращается в ноль. Это происходит при \(x + 5 = 0\), то есть при \(x = -5\). Следовательно, \(D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)\), что означает, что функция определена для всех действительных значений \(x\), кроме \(x = -5\).

Область значений функции определяется тем, какие значения может принимать \(y\). Заметим, что если \(x\) стремится к бесконечности, то \(\frac{8}{x+5}\) стремится к нулю, а \(y\) к \(-3\). Однако \(y\) никогда не станет равным \(-3\), так как это горизонтальная асимптота. Также, если \(x\) приближается к \(-5\) слева или справа, то знаменатель стремится к нулю, а значение дроби к бесконечности (соответственно знаку числителя и знаменателя). Поэтому \(y\) может принимать любые значения, кроме \(-3\). Таким образом, \(E(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)\).

Чтобы найти значение \(x\), при котором \(y = 0\), приравниваем выражение к нулю: \(\frac{8}{x+5} — 3 = 0\). Решая это уравнение, переносим \(-3\) вправо: \(\frac{8}{x+5} = 3\). Умножаем обе части на \(x+5\): \(8 = 3(x+5)\). Раскрываем скобки: \(8 = 3x + 15\). Переносим всё в одну сторону: \(8 — 15 = 3x\), отсюда \(3x = -7\), значит, \(x = -\frac{7}{3}\), что можно записать как \(x = -2 \frac{1}{3}\). Это значение показывает точку пересечения графика с осью \(x\).

Для определения промежутков знака функции рассмотрим, где \(y > 0\) и \(y < 0\). \(y > 0\) тогда, когда \(\frac{8}{x+5} > 3\). Решая неравенство, получаем \(8 > 3(x+5)\), то есть \(8 > 3x + 15\), отсюда \(3x < -7\), значит \(x < -\frac{7}{3}\), то есть \(x \in (-\infty; -2 \frac{1}{3})\). Аналогично, \(y < 0\) при \(x > -2 \frac{1}{3}\), но при этом \(x \neq -5\), так как в этой точке функция не определена. Поэтому \(y < 0\) при \(x \in (-\infty; -5) \cup (-2 \frac{1}{3}; +\infty)\).

Функция убывает на каждом из промежутков, где она определена, то есть на \((-\infty; -5)\) и \((-5; +\infty)\). Это связано с тем, что производная функции отрицательна на этих промежутках, так как \(y’ = -\frac{8}{(x+5)^{2}}\), а квадрат всегда положителен, поэтому производная всегда отрицательна, что указывает на убывание функции на всех допустимых значениях \(x\).