ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 16 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Задайте формулой вида \(y = a(x + m)^2\) функцию, график которой изображён на рисунке.

1) Вершина параболы \(y = a(x + m)^2\) имеет координаты \((-m; 0)\). Поскольку вершиной данной параболы является точка \((4; 0)\), то \(m = -4\).
Имеем: \(y = a(x — 4)^2\).
Данной параболе принадлежит точка \((2; 1)\).
Подставив ее координаты в последнюю формулу, получаем:
\(1 = a \cdot (2 — 4)^2\)
\(1 = a \cdot (-2)^2\)
\(1 = 4a\)
\(a = \frac{1}{4}\)
\(a = 0{,}25\).
Следовательно, изображен график функции: \(y = 0{,}25(x — 4)^2\).
Ответ: \(y = 0{,}25(x — 4)^2\).

2) Вершина параболы \(y = a(x + m)^2\) имеет координаты \((-m; 0)\). Поскольку вершиной данной параболы является точка \((-1; 0)\), то \(m = 1\).
Имеем: \(y = a(x + 1)^2\).
Данной параболе принадлежит точка \((0; -2)\).
Подставив ее координаты в последнюю формулу, получаем:
\(-2 = a \cdot (0 + 1)^2\)
\(-2 = a \cdot 1^2\)
\(a = -2\).
Следовательно, изображен график функции: \(y = -2(x + 1)^2\).
Ответ: \(y = -2(x + 1)^2\).

Рассмотрим подробно первый случай. В общем виде уравнение параболы записывается как \(y = a(x + m)^2\), где \(a\) — коэффициент, определяющий ширину и направление ветвей параболы, а \(m\) — параметр, определяющий положение вершины параболы по оси \(x\). Вершина параболы в таком виде уравнения имеет координаты \((-m; 0)\). По условию задачи вершина находится в точке \((4; 0)\), значит, подставляем \(x = 4\) и \(y = 0\) в уравнение и получаем: \(0 = a(4 + m)^2\). Так как квадрат любого числа, кроме нуля, не равен нулю, то \(4 + m = 0\), отсюда \(m = -4\). Подставляем значение \(m\) в исходное уравнение: \(y = a(x — 4)^2\).

Далее, чтобы найти коэффициент \(a\), используем вторую точку, принадлежащую параболе, а именно \((2; 1)\). Подставляем координаты этой точки в уравнение и получаем: \(1 = a(2 — 4)^2\). Выражение \(2 — 4\) равно \(-2\), а квадрат минус двух — это \(4\). Получаем: \(1 = a \cdot 4\). Чтобы найти \(a\), делим обе части на \(4\): \(a = \frac{1}{4}\), что в десятичном виде равно \(0{,}25\). Таким образом, окончательная формула параболы, проходящей через вершину \((4; 0)\) и точку \((2; 1)\), имеет вид: \(y = 0{,}25(x — 4)^2\).

Аналогично рассмотрим второй случай. Вершина параболы \(y = a(x + m)^2\) расположена в точке \((-m; 0)\). По условию задачи вершина находится в точке \((-1; 0)\), значит, \(m = 1\), поскольку \(-m = -1\). Подставляем это значение в уравнение: \(y = a(x + 1)^2\). Теперь используем точку, принадлежащую параболе, а именно \((0; -2)\). Подставляем координаты: \(-2 = a(0 + 1)^2\). Выражение \(0 + 1\) это \(1\), а квадрат единицы — это тоже \(1\). Получаем: \(-2 = a \cdot 1\), откуда сразу видно, что \(a = -2\). Таким образом, уравнение второй параболы, проходящей через вершину \((-1; 0)\) и точку \((0; -2)\), имеет вид: \(y = -2(x + 1)^2\).

В обоих случаях мы последовательно использовали свойства параболы, записанной в виде \(y = a(x + m)^2\), чтобы определить параметры уравнения по заданным точкам: сначала находили значение \(m\) из координат вершины, затем подставляли координаты второй точки для вычисления коэффициента \(a\). Такой подход позволяет однозначно восстановить уравнение параболы по ее вершине и одной дополнительной точке, что важно для построения графиков и решения задач на определение аналитического выражения квадратичной функции. В результате для первой параболы получаем уравнение \(y = 0{,}25(x — 4)^2\), а для второй — \(y = -2(x + 1)^2\).