ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 19 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:
1) \(\frac{4}{x+1} = x-2\);
2) \((x+2)^2 — 4 = \sqrt{x+3} + 3.\)

1) \(\frac{4}{x+1} = x — 2\).
Построим в одной системе координат графики функций \(y = \frac{4}{x+1}\) и \(y = x — 2\).
\(y = \frac{4}{x+1}\) — получен в результате параллельного переноса графика функции \(y = \frac{4}{x}\) на 1 единицу влево;
\(y = x — 2\) — получен в результате параллельного переноса графика функции \(y = x\) на 2 единицы вниз.
Графики пересекаются при \(x = -2\) и \(x = 3\).
\(x = -2\) и \(x = 3\).

2) \((x + 2)^2 — 4 = \sqrt{x + 3} + 3\).
Построим в одной системе координат графики функций \(y = (x + 2)^2 — 4\) и \(y = \sqrt{x + 3} + 3\).
\(y = (x + 2)^2 — 4\) — получен в результате параллельного переноса графика функции \(y = x^2\) на 2 единицы влево и на 4 единицы вниз;
\(y = \sqrt{x + 3} + 3\) — получен в результате параллельного переноса графика функции \(y = \sqrt{x}\) на 3 единицы влево и на 3 единицы вверх.
Графики пересекаются при \(x = 1\).
\(x = 1\).

1) Для решения уравнения \(\frac{4}{x+1} = x — 2\) графическим способом сначала преобразуем его к виду, в котором удобно построить графики функций. Перепишем уравнение так: пусть \(y_1 = \frac{4}{x+1}\) и \(y_2 = x — 2\). Необходимо построить оба графика на одной системе координат и найти их точки пересечения, ведь именно абсциссы этих точек и будут решениями исходного уравнения. График функции \(y_1 = \frac{4}{x+1}\) — это гипербола, которая получается сдвигом стандартной гиперболы \(y = \frac{4}{x}\) на одну единицу влево по оси \(x\). То есть все точки гиперболы перемещаются так, что асимптота, которая была при \(x = 0\), теперь будет при \(x = -1\). График функции \(y_2 = x — 2\) — это прямая, которая получается сдвигом стандартной прямой \(y = x\) на 2 единицы вниз по оси \(y\).

Далее отмечаем, что точки пересечения графиков определяют те значения \(x\), при которых значения обеих функций совпадают, то есть выполняется равенство \(\frac{4}{x+1} = x — 2\). Для наглядности строим оба графика на одной координатной плоскости: гипербола будет расположена так, что её ветви будут приближаться к прямым \(x = -1\) (вертикальная асимптота) и \(y = 0\) (горизонтальная асимптота), а прямая будет пересекать эти ветви в двух точках. На графике видно, что эти точки пересечения соответствуют \(x = -2\) и \(x = 3\). Подставляя эти значения в исходное уравнение, убеждаемся, что они действительно являются решениями: для \(x = -2\) получаем \(\frac{4}{-2+1} = -2 — 2 \rightarrow \frac{4}{-1} = -4\), что верно; для \(x = 3\) получаем \(\frac{4}{3+1} = 3 — 2 \rightarrow \frac{4}{4} = 1\), что также верно.

Таким образом, решения исходного уравнения — это \(x = -2\) и \(x = 3\). Графический способ наглядно показывает, как пересекаются графики функций, и позволяет легко определить количество и значения корней уравнения, даже если аналитически их находить сложнее.

2) Для уравнения \((x+2)^2 — 4 = \sqrt{x+3} + 3\) используем аналогичный подход. Сначала обозначим левую часть уравнения как \(y_1 = (x+2)^2 — 4\), а правую — как \(y_2 = \sqrt{x+3} + 3\). Теперь строим оба графика на одной системе координат. График функции \(y_1 = (x+2)^2 — 4\) — это парабола, которая получается сдвигом стандартной параболы \(y = x^2\) на 2 единицы влево и на 4 единицы вниз. Вершина параболы будет находиться в точке \((-2, -4)\), а ветви будут направлены вверх. График функции \(y_2 = \sqrt{x+3} + 3\) — это график корня, который получается сдвигом стандартной функции \(y = \sqrt{x}\) на 3 единицы влево и на 3 единицы вверх. Начальная точка графика будет в точке \((-3, 3)\), так как подкоренное выражение становится равно нулю при \(x = -3\).

Далее ищем точки пересечения этих двух графиков. На координатной плоскости видно, что парабола и график корня пересекаются только в одной точке. Это пересечение соответствует значению \(x = 1\). Подставим \(x = 1\) в исходное уравнение для проверки: \((1+2)^2 — 4 = \sqrt{1+3} + 3 \rightarrow 3^2 — 4 = \sqrt{4} + 3 \rightarrow 9 — 4 = 2 + 3 \rightarrow 5 = 5\). Значение \(x = 1\) действительно является решением уравнения.

Такой способ решения позволяет увидеть, что графики могут пересекаться в одной, двух или ни в одной точке, а также помогает визуализировать область определения функций, ведь, например, функция с корнем определена только при \(x \geq -3\). Это важно учитывать при анализе решений уравнения, чтобы не получить посторонние корни, которые не входят в область определения исходных выражений. В данном случае единственное решение — \(x = 1\).