ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 20 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите значение \(r\) и постройте график функции \(y = x^2 + r\), если известно, что прямая \(y = -3x\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Графики \(y = x^2 + p\) и \(y = -3x\) пересекаются, если: \(x^2 + p = -3x\) \(x^2 + 3x + p = 0\) \(D = 9 — 4p\). Квадратное уравнение имеет один корень, если \(D = 0\): \(9 — 4p = 0\) \(4p = 9\) \(p = \frac{9}{4}\) \(p = 2{,}25\). Тогда, график функции: \(y = x^2 + 2{,}25\). \(y = x^2 + 2{,}25 \rightarrow\) получен в результате параллельного переноса графика функции \(y = x^2\) на \(2{,}25\) единиц вверх:

Рассмотрим более подробно, почему графики функций \(y = x^2 + p\) и \(y = -3x\) могут иметь ровно одну общую точку. Для этого нужно найти такое значение параметра \(p\), при котором уравнение \(x^2 + p = -3x\) имеет единственное решение. Преобразуем это уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \(x^2 + 3x + p = 0\). Квадратное уравнение может иметь один корень только в случае, если его дискриминант равен нулю. Дискриминант для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 — 4ac\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = p\), поэтому \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot p = 9 — 4p\).

Для того чтобы уравнение имело ровно один корень, необходимо чтобы \(D = 0\). Подставим это условие: \(9 — 4p = 0\). Решим это уравнение относительно \(p\): \(4p = 9\), отсюда \(p = \frac{9}{4}\). Таким образом, единственное значение параметра \(p\), при котором графики пересекаются ровно в одной точке, равно \(2{,}25\). Это означает, что прямая \(y = -3x\) касается параболы \(y = x^2 + 2{,}25\), то есть имеет с ней одну общую точку. Геометрически это соответствует тому, что вершина параболы поднята настолько, что прямая становится касательной к ней.

График функции \(y = x^2 + 2{,}25\) получается из графика стандартной параболы \(y = x^2\) с помощью параллельного переноса вверх на \(2{,}25\) единиц. То есть, если изначально вершина параболы находилась в точке \((0, 0)\), после переноса она будет в точке \((0, 2{,}25)\). Все остальные точки параболы также смещаются вверх на \(2{,}25\) единиц. Такое преобразование не изменяет форму графика, а только его положение относительно оси \(y\). В результате, касательная прямая \(y = -3x\) проходит через единственную точку касания с параболой, что и требуется по условию задачи.