ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 21 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Известно, что графики функций \(y = -x^2 + p\) и \(y = -4x + 5\) имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Графики \(y = -x^2 + p\) и \(y = -4x + 5\) пересекаются, если:
\(-x^2 + p = -4x + 5\)
\(-x^2 + p + 4x — 5 = 0\)
\(-x^2 + 4x + p — 5 = 0\)
\(D = 16 + 4(p — 5)\).
Квадратное уравнение имеет один корень, если \(D = 0\):
\(16 + 4(p — 5) = 0\)
\(16 + 4p — 20 = 0\)
\(4p — 4 = 0\)
\(4p = 4\)
\(p = 1\).
Тогда, график функции: \(y = -x^2 + 1\).
Графики пересекаются в точке \((2; -3)\):
\(-x^2 + 1 = -4x + 5\)
\(-x^2 + 1 + 4x — 5 = 0\)
\(-x^2 + 4x — 4 = 0\)
\(-(x^2 — 4x + 4) = 0\)
\(-(x — 2)^2 = 0\)
\(x — 2 = 0\)
\(x = 2\)
\(y = -4x + 5 = -4 \cdot 2 + 5 = -8 + 5 = -3\).
\(y = -x^2 + 1\) — получен в результате параллельного переноса графика функции \(y = -x^2\) на 1 единицу вверх.
Построим данные графики:

Пусть даны две функции: первая — квадратичная \(y = -x^2 + p\), вторая — линейная \(y = -4x + 5\). Требуется найти такие значения параметра \(p\), при которых графики этих функций имеют ровно одну общую точку, а также определить координаты этой точки и построить оба графика. Для начала приравняем правые части уравнений, чтобы найти точки пересечения:
\(-x^2 + p = -4x + 5\).
Переносим все члены в одну сторону уравнения:
\(-x^2 + p + 4x — 5 = 0\),
или
\(-x^2 + 4x + p — 5 = 0\).
Это квадратное уравнение относительно переменной \(x\), где коэффициенты зависят от параметра \(p\). Чтобы у двух графиков была ровно одна общая точка, это уравнение должно иметь ровно один корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю. Напишем выражение для дискриминанта:
\(D = (4)^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (p — 5)\).
Выполним вычисления:
\(D = 16 + 4(p — 5)\).
Чтобы был ровно один корень, приравниваем дискриминант к нулю:
\(16 + 4(p — 5) = 0\).
Раскрываем скобки:
\(16 + 4p — 20 = 0\).
Приводим подобные:
\(4p — 4 = 0\).
Отсюда \(4p = 4\), значит \(p = 1\).
Таким образом, только при \(p = 1\) графики пересекаются в одной точке, и уравнение становится:
\(-x^2 + 4x + 1 — 5 = 0\),
то есть
\(-x^2 + 4x — 4 = 0\).

Теперь найдем координаты точки пересечения. Решим уравнение:
\(-x^2 + 4x — 4 = 0\).
Для удобства умножим обе части на \(-1\):
\(x^2 — 4x + 4 = 0\).
Это полное квадратное уравнение, которое можно свернуть по формуле квадрата разности:
\((x — 2)^2 = 0\).
Отсюда \(x — 2 = 0\), значит \(x = 2\).
Подставим найденное значение \(x\) в любое из исходных уравнений, например во второе:
\(y = -4x + 5\).
Подставляем \(x = 2\):
\(y = -4 \cdot 2 + 5 = -8 + 5 = -3\).
Проверим подстановкой в первое уравнение:
\(y = -x^2 + 1\),
\(y = -(2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3\).
Таким образом, координаты единственной общей точки: \((2; -3)\).

Теперь рассмотрим геометрический смысл полученного результата. Квадратичная функция \(y = -x^2 + 1\) — это парабола, ветви которой направлены вниз (из-за минуса перед \(x^2\)). Эта парабола является результатом параллельного переноса стандартной параболы \(y = -x^2\) на одну единицу вверх по оси \(y\). Линейная функция \(y = -4x + 5\) — это прямая, имеющая отрицательный угловой коэффициент, поэтому она убывает, а точка пересечения с осью \(y\) — это \(5\). Парабола и прямая касаются друг друга в единственной точке \((2; -3)\), что соответствует случаю, когда прямая является касательной к параболе. Это и обеспечивается равенством дискриминанта нулю.