ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 22 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Задайте данную функцию формулой вида \( y = a(x — m)^2 + n \) и постройте её график, используя график функции \( y = ax^2 \).
1) \( y = -0{,}5x^2 + 3x — 2{,}5 \);
2) \( y = 3x^2 + 12x + 6 \);
3) \( y = -x^2 + 2x — 4 \).

1) \( y = -0{,}5x^{2} + 3x — 2{,}5 \).
Имеем:
\( y = -0{,}5x^{2} + 3x — 2{,}5 = -0{,}5(x^{2} — 6x + 5) = -0{,}5(x^{2} — 6x + 9 — 4) =\)
\(= -0{,}5((x — 3)^{2} — 4) = -0{,}5(x — 3)^{2} + 2 \).
Следовательно, графиком является парабола с вершиной в точке (3; 2).
Схема построения имеет вид:
\( y = -0{,}5x^{2} \) — на 3 ед. вправо — \( y = -0{,}5(x — 3)^{2} \) — на 2 ед. вверх — \( y = -0{,}5(x — 3)^{2} + 2 \).

2) \( y = 3x^{2} + 12x + 6 \).
Имеем:
\( y = 3x^{2} + 12x + 6 = 3(x^{2} + 4x + 2) = 3(x^{2} + 4x + 4 — 2) =\)
\(= 3((x + 2)^{2} — 2) = 3(x + 2)^{2} — 6 \).
Следовательно, графиком является парабола с вершиной в точке (-2; -6).
Схема построения имеет вид:
\( y = 3x^{2} \) — на 2 ед. влево — \( y = 3(x + 2)^{2} \) — на 6 ед. вниз — \( y = 3(x + 2)^{2} — 6 \).

3) \( y = -x^{2} + 2x — 4 \).
Имеем:
\( y = -x^{2} + 2x — 4 = -(x^{2} — 2x + 4) = -(x^{2} — 2x + 1 + 3) =\)
\(= -((x — 1)^{2} + 3) = -(x — 1)^{2} — 3 \).
Следовательно, графиком является парабола с вершиной в точке (1; -3).
Схема построения имеет вид:
\( y = -x^{2} \) — на 1 ед. вправо — \( y = -(x — 1)^{2} \) — на 3 ед. вниз — \( y = -(x — 1)^{2} — 3 \).

Преобразуем каждое квадратное уравнение к каноническому виду \( y = a(x — m)^{2} + n \), чтобы определить вершину параболы и понять, как строится график на основе стандартной параболы \( y = ax^{2} \).

1) Для уравнения \( y = -0{,}5x^{2} + 3x — 2{,}5 \) сначала выделим полный квадрат. Вынесем коэффициент при \( x^{2} \): \( y = -0{,}5(x^{2} — 6x) — 2{,}5 \). Далее подберём число для полного квадрата: половина коэффициента при \( x \) равна \( -3 \), в квадрате это \( 9 \). Прибавим и вычтем \( 9 \) внутри скобки: \( y = -0{,}5(x^{2} — 6x + 9 — 9) — 2{,}5 \). Получаем \( y = -0{,}5((x — 3)^{2} — 9) — 2{,}5 \). Раскроем скобки: \( y = -0{,}5(x — 3)^{2} + 4,5 — 2{,}5 \), то есть \( y = -0{,}5(x — 3)^{2} + 2 \). Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (3; 2) \). Это значит, что график стандартной параболы \( y = -0{,}5x^{2} \) сжимается по вертикали в 2 раза (коэффициент \( -0{,}5 \)), отражается относительно оси \( x \) (так как коэффициент отрицательный), затем сдвигается на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

2) Рассмотрим \( y = 3x^{2} + 12x + 6 \). Вынесем тройку: \( y = 3(x^{2} + 4x) + 6 \). Для полного квадрата возьмём половину коэффициента при \( x \), это \( 2 \), в квадрате \( 4 \). Добавим и вычтем \( 4 \) внутри скобки: \( y = 3(x^{2} + 4x + 4 — 4) + 6 = 3((x + 2)^{2} — 4) + 6 \). Раскроем скобки: \( y = 3(x + 2)^{2} — 12 + 6 \), то есть \( y = 3(x + 2)^{2} — 6 \). Вершина параболы в точке \( (-2; -6) \). График стандартной параболы \( y = 3x^{2} \) становится уже в 3 раза (коэффициент 3), а затем сдвигается на 2 единицы влево и на 6 единиц вниз.

3) Для \( y = -x^{2} + 2x — 4 \) вынесем минус: \( y = -(x^{2} — 2x) — 4 \). Половина коэффициента при \( x \) — это \( -1 \), в квадрате \( 1 \). Добавим и вычтем единицу: \( y = -(x^{2} — 2x + 1 — 1) — 4 = -((x — 1)^{2} — 1) — 4 \). Раскроем скобки: \( y = -(x — 1)^{2} + 1 — 4 \), то есть \( y = -(x — 1)^{2} — 3 \). Вершина параболы в точке \( (1; -3) \). Значит, парабола \( y = -x^{2} \) отражается относительно оси \( x \), затем сдвигается на 1 единицу вправо и на 3 единицы вниз.

Каждое из этих преобразований — выделение полного квадрата, определение вершины, понимание вертикального растяжения/сжатия и отражения — позволяет легко построить график функции, начиная с простейшей параболы \( y = ax^{2} \). Сначала определяем направление ветвей (по знаку \( a \)), затем сдвигаем параболу на \( m \) единиц по оси \( x \) и на \( n \) единиц по оси \( y \). Если \( |a| > 1 \), парабола становится уже, если \( 0 < |a| < 1 \), — шире, если \( a < 0 \), ветви направлены вниз.