ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 23 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Задайте данную функцию формулой вида \(y = \frac{k}{x+a} + b\) и постройте её график, используя график функции \(y = \frac{k}{x}\):
1) \(y = \frac{4x-18}{x-3}\);
2) \(y = \frac{2x+10}{x+4}\).

1) \(y = \frac{4x — 18}{x — 3}\)

Имеем:
\(y = \frac{4x — 18}{x — 3} = \frac{4x — 12 — 6}{x — 3} = \frac{4x — 12}{x — 3} — \frac{6}{x — 3} = 4 — \frac{6}{x — 3}\)

\(y = 4 — \frac{6}{x — 3}\)

Следовательно, графиком является гипербола.

Схема построения имеет вид:
\(y = -\frac{6}{x}\) → на 3 ед. вправо → \(y = -\frac{6}{x — 3}\) → на 4 ед. вверх → \(y = -\frac{6}{x — 3} + 4\)

2) \(y = \frac{2x + 10}{x + 4}\)

Имеем:
\(y = \frac{2x + 10}{x + 4} = \frac{2x + 8 + 2}{x + 4} = \frac{2x + 8}{x + 4} + \frac{2}{x + 4} = 2 + \frac{2}{x + 4}\)

\(y = 2 + \frac{2}{x + 4}\)

Следовательно, графиком является гипербола.

Схема построения имеет вид:
\(y = \frac{2}{x}\) → на 4 ед. влево → \(y = \frac{2}{x + 4}\) → на 2 ед. вверх → \(y = \frac{2}{x + 4} + 2\)

1) \(y = \frac{4x — 18}{x — 3}\)

Рассмотрим подробно преобразование данной функции. В числителе \(4x — 18\) можно представить как \(4x — 12 — 6\), чтобы разделить на знаменатель \(x — 3\) и получить удобную форму для выделения гиперболы. Тогда:

\(y = \frac{4x — 18}{x — 3} = \frac{4x — 12 — 6}{x — 3}\)

Разделим числитель на две части: \(4x — 12\) и \(-6\):

\(y = \frac{4x — 12}{x — 3} — \frac{6}{x — 3}\)

Теперь заметим, что \(4x — 12 = 4(x — 3)\), поэтому:

\(y = \frac{4(x — 3)}{x — 3} — \frac{6}{x — 3} = 4 — \frac{6}{x — 3}\)

Таким образом, исходная функция приводится к виду \(y = 4 — \frac{6}{x — 3}\). Это позволяет видеть, что график функции представляет собой гиперболу, смещённую относительно стандартной гиперболы \(y = \frac{k}{x}\).

Чтобы построить график, сначала рассмотрим стандартную гиперболу \(y = -\frac{6}{x}\). Затем делаем сдвиг на 3 единицы вправо, получая \(y = -\frac{6}{x — 3}\). После этого поднимаем график на 4 единицы вверх, то есть прибавляем 4: \(y = -\frac{6}{x — 3} + 4\). Такая последовательность преобразований позволяет легко нарисовать график, учитывая все смещения и масштаб.

2) \(y = \frac{2x + 10}{x + 4}\)

Рассмотрим аналогичное преобразование для второй функции. В числителе \(2x + 10\) удобно представить как \(2x + 8 + 2\), чтобы упростить деление на знаменатель \(x + 4\):

\(y = \frac{2x + 10}{x + 4} = \frac{2x + 8 + 2}{x + 4}\)

Разделим числитель: \(2x + 8\) и \(2\):

\(y = \frac{2x + 8}{x + 4} + \frac{2}{x + 4}\)

Теперь заметим, что \(2x + 8 = 2(x + 4)\), поэтому:

\(y = \frac{2(x + 4)}{x + 4} + \frac{2}{x + 4} = 2 + \frac{2}{x + 4}\)

Итак, исходная функция приводится к виду \(y = 2 + \frac{2}{x + 4}\). Это снова гипербола, но с другими параметрами смещения и масштаба.

Для построения графика сначала рассматриваем стандартную гиперболу \(y = \frac{2}{x}\). Затем сдвигаем её на 4 единицы влево, получая \(y = \frac{2}{x + 4}\). После этого поднимаем график на 2 единицы вверх, то есть прибавляем 2: \(y = \frac{2}{x + 4} + 2\). Такой способ позволяет наглядно видеть, как исходная рациональная функция связана с графиком стандартной гиперболы и как изменяются её свойства при сдвигах и вертикальном смещении.

В обоих случаях мы получаем рациональные функции, которые можно привести к виду \(y = \frac{k}{x + a} + b\), где \(k\) определяет «крутизну» ветвей гиперболы, \(a\) отвечает за горизонтальный сдвиг, а \(b\) — за вертикальный. Графики таких функций всегда имеют вертикальную асимптоту в точке \(x = -a\) и горизонтальную асимптоту \(y = b\). Это позволяет быстро анализировать поведение функции и строить её график, используя элементарные преобразования гиперболы.