ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 24 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \frac{(x^2 + 4)(x + 1)}{1 — x} \) и определите, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

\( y = \frac{(x^{2} + 4)(x + 1)}{-1 — x} \)
Имеем:
\( y = \frac{(x^{2} + 4)(x + 1)}{-1 — x} = \frac{(x^{2} + 4)(x + 1)}{-(x + 1)} = — (x^{2} + 4) = -x^{2} — 4 \)
\(-1 — x \neq 0\)
\(x \neq -1\)
Следовательно, графиком является парабола с вершиной в точке (0; -4).
Схема построения имеет вид:
\(y = -x^{2}\) → на 4 ед. вниз → \(y = -x^{2} — 4\)

Прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку, если:
\(-x^{2} — 4 = kx\)
\(-x^{2} — kx — 4 = 0\)
\(x^{2} + kx + 4 = 0\)
\(D = k^{2} — 4 \cdot 4 = k^{2} — 16\)
Квадратное уравнение имеет один корень, если \(D = 0\):
\(k^{2} — 16 = 0\)
\(k^{2} = 16\)
\(k = -4\) или \(k = 4\)
Ответ: при \(k = -4\) и \(k = 4\).

Рассмотрим функцию \( y = \frac{(x^{2} + 4)(x + 1)}{-1 — x} \). Для упрощения выражения знаменатель можно преобразовать: \( -1 — x = -(x + 1) \). Тогда функция принимает вид:
\( y = \frac{(x^{2} + 4)(x + 1)}{-(x + 1)} \).
Если \( x \neq -1 \), то можно сократить множители \( x + 1 \) в числителе и знаменателе, получая:
\( y = — (x^{2} + 4) = -x^{2} — 4 \).
Таким образом, графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0; -4). Однако, в точке \( x = -1 \) функция не определена, так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому на графике будет разрыв (выколотая точка) при \( x = -1 \).

Далее требуется выяснить, при каких значениях параметра \( k \) прямая \( y = kx \) будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку. Для этого приравниваем функцию и уравнение прямой:
\( -x^{2} — 4 = kx \).
Переносим все члены в одну сторону:
\( -x^{2} — kx — 4 = 0 \)
или
\( x^{2} + kx + 4 = 0 \).
Это квадратное уравнение относительно переменной \( x \). Чтобы уравнение имело ровно один корень (то есть прямая пересекала параболу ровно в одной точке), необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения \( x^{2} + kx + 4 = 0 \) равен
\( D = k^{2} — 4 \cdot 4 = k^{2} — 16 \).
Приравниваем дискриминант к нулю:
\( k^{2} — 16 = 0 \).
Решаем относительно \( k \):
\( k^{2} = 16 \)
\( k = 4 \) или \( k = -4 \).

Проверим, что происходит в этих случаях. Если \( k = 4 \) или \( k = -4 \), то уравнение \( x^{2} + kx + 4 = 0 \) имеет один корень, то есть прямая касается параболы. Это означает, что графики имеют ровно одну общую точку, если не учитывать выколотую точку \( x = -1 \), где исходная функция не определена. Если бы дискриминант был больше нуля, то уравнение имело бы два различных корня, и прямая пересекала бы параболу в двух точках. Если дискриминант меньше нуля, то решений нет, и прямая не пересекает параболу.

Следовательно, значения параметра \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку, равны \( k = 4 \) и \( k = -4 \).