ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 25 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \begin{cases} (x-1)^2, \text{ если } x \geq -1; \\ -\frac{4}{x}, \text{ если } x < -1 \end{cases} \) и определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком одну или две общие точки.

\( y = \begin{cases} (x-1)^2, \text{ если } x \geq -1; \\ -\frac{4}{x}, \text{ если } x < -1 \end{cases} \)

\( y = (x-1)^2, \text{ если } x \geq -1; \)

\( y = -\frac{4}{x}, \text{ если } x < -1; \quad x \neq 0; \)

Прямая \( y = m \) имеет с графиком одну точку при \( m = 0 \) или \( m > 4 \), две общие точки — при \( m = 1 \) или \( m = 4 \).
Ответ: при \( m = 0 \) или \( m > 4 \) — одну точку;
при \( m = 1 \) или \( m = 4 \) — две точки.

Данная функция является кусочной, то есть её выражение зависит от значения переменной \( x \). Для \( x \geq -1 \) используется формула \( y = (x-1)^2 \), которая представляет собой параболу с вершиной в точке \( (1, 0) \), направленную вверх. Для \( x < -1 \) используется выражение \( y = -\frac{4}{x} \), что является ветвью гиперболы, определённой только для отрицательных значений \( x \), так как \( x < -1 \). График функции строится из двух частей, которые соединяются в точке \( x = -1 \): для этого значения обе формулы дают \( y = 4 \), так как \( (-1-1)^2 = 4 \) и \( -\frac{4}{-1} = 4 \), поэтому график непрерывен в этой точке.

Рассмотрим, сколько точек пересечения может быть у горизонтальной прямой \( y = m \) с этим графиком. Для этого нужно решить уравнения: \( (x-1)^2 = m \) при \( x \geq -1 \) и \( -\frac{4}{x} = m \) при \( x < -1 \). Первое уравнение даёт \( x = 1 \pm \sqrt{m} \), но решение подходит только тогда, когда \( x \geq -1 \), то есть \( 1 — \sqrt{m} \geq -1 \), откуда \( \sqrt{m} \leq 2 \), следовательно, \( m \leq 4 \). Также \( m \geq 0 \), так как квадрат не может быть отрицательным. Второе уравнение даёт \( x = -\frac{4}{m} \), и это решение подходит только при \( x < -1 \), то есть \( -\frac{4}{m} < -1 \), откуда \( m > 4 \) (так как \( m > 0 \)). При \( m < 0 \) точек пересечения нет, так как ни одна из частей графика не принимает отрицательных значений.

Теперь рассмотрим частные случаи. При \( m = 0 \) уравнение \( (x-1)^2 = 0 \) даёт единственное решение \( x = 1 \), которое удовлетворяет условию \( x \geq -1 \), а \( -\frac{4}{x} = 0 \) решений не имеет. Значит, при \( m = 0 \) точка пересечения одна. При \( m = 1 \) получаем \( (x-1)^2 = 1 \), то есть \( x = 0 \) и \( x = 2 \), обе точки удовлетворяют \( x \geq -1 \), а \( -\frac{4}{x} = 1 \) даёт \( x = -4 \), что тоже удовлетворяет \( x < -1 \). Однако, при \( m = 1 \) пересечение с параболой даёт две точки, а с гиперболой одну, но обе части графика не пересекаются в одной точке, поэтому всего две точки пересечения. Аналогично при \( m = 4 \) уравнение \( (x-1)^2 = 4 \) даёт \( x = -1 \) и \( x = 3 \), обе точки подходят, а \( -\frac{4}{x} = 4 \) даёт \( x = -1 \), но это граничное значение, и оно уже учтено. Таким образом, при \( m = 4 \) также две точки пересечения. В итоге, прямая \( y = m \) имеет одну общую точку с графиком функции при \( m = 0 \) или \( m > 4 \), так как при этих значениях только одна из частей графика достигает этого значения \( y \): при \( m = 0 \) это вершина параболы, а при \( m > 4 \) только гипербола. При \( m = 1 \) и \( m = 4 \) прямая имеет две общие точки с графиком, так как оба уравнения дают допустимые значения \( x \), лежащие в соответствующих областях определения кусочной функции.

Ответ: при \( m = 0 \) или \( m > 4 \) — одну точку; при \( m = 1 \) или \( m = 4 \) — две точки.