ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 26 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = 2 — \frac{x^4 — x^3}{x^2 — x}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

y = 2 — \frac{x^4 — x^3}{x^2 — x}
Область определения данной функции – множество решений неравенства \(x^2 — x \neq 0\).
Отсюда \(x \neq 0\) и \(x \neq 1\).
Имеем:
y = 2 — \frac{x^4 — x^3}{x^2 — x} = 2 — \frac{x^2(x^2 — x)}{x^2 — x} = 2 — x^2 = -x^2 + 2.
Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m \in (-\infty; 1) \cup (1; 2)\).
Ответ: при \(m \in (-\infty; 1) \cup (1; 2)\).

В данной задаче требуется рассмотреть функцию \(y = 2 — \frac{x^4 — x^3}{x^2 — x}\) и выяснить, при каких значениях параметра \(m\) прямая \(y = m\) будет иметь ровно две общие точки с графиком этой функции. Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби \(x^2 — x\) не должен равняться нулю, то есть \(x^2 — x \neq 0\). Это равенство обращается в ноль при \(x = 0\) и \(x = 1\), поэтому эти значения исключаются из области определения. Значит, область определения функции: все действительные числа, кроме \(x = 0\) и \(x = 1\).

Преобразуем выражение функции. В числителе \(x^4 — x^3\) можно вынести \(x^3\) за скобку: \(x^4 — x^3 = x^3(x — 1)\). В знаменателе также можно вынести \(x\): \(x^2 — x = x(x — 1)\). Тогда дробь \(\frac{x^4 — x^3}{x^2 — x} = \frac{x^3(x — 1)}{x(x — 1)}\). Сократим на \((x — 1)\), получим \(\frac{x^3}{x}\). При \(x \neq 0\), это просто \(x^2\). Следовательно, функция принимает вид \(y = 2 — x^2\) при \(x \neq 0\) и \(x \neq 1\). Это парабола, ветви которой направлены вниз, вершина находится в точке \(x = 0, y = 2\), но точка \(x = 0\) не принадлежит графику, так как она исключена из области определения. Аналогично, точка \(x = 1\) также отсутствует на графике.

Теперь рассмотрим, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) пересекает график ровно в двух точках. Для этого нужно решить уравнение \(2 — x^2 = m\), то есть \(x^2 = 2 — m\). Это уравнение имеет два корня \(x = \sqrt{2 — m}\) и \(x = -\sqrt{2 — m}\), если \(2 — m > 0\), то есть \(m < 2\). Однако среди этих корней могут оказаться запрещённые значения \(x = 0\) или \(x = 1\), которые не входят в область определения. Если \(2 — m = 1\), то \(x^2 = 1\), и корни \(x = 1\) и \(x = -1\). Из них \(x = 1\) не входит в область определения, значит, при \(m = 1\) прямая пересекает график только в одной точке \(x = -1\). Если \(m < 1\), оба корня допустимы, и прямая будет пересекать график в двух точках. Если \(1 < m < 2\), то \(x^2 = 2 — m\) даёт два действительных корня, ни один из которых не равен 0 или 1, поэтому оба корня входят в область определения и даёт две точки пересечения. Если \(m \geq 2\), уравнение не имеет действительных решений, пересечений нет.

Таким образом, прямая \(y = m\) имеет ровно две общие точки с графиком функции при \(m \in (-\infty; 1) \cup (1; 2)\), что означает, что для всех \(m < 1\) и для всех \(1 < m < 2\) прямая пересекает график ровно в двух точках, исключая значение \(m = 1\), где пересечение только одно, и значения \(m \geq 2\), где пересечений нет.