ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 27 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = 3 — \frac{4x + 8}{x^2 + 2x}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.

\(y = 3 — \frac{4x + 8}{x^{2} + 2x}\)
Область определения данной функции – множество решений неравенства \(x^{2} + 2x \neq 0\).
Отсюда \(x \neq 0\) и \(x \neq -2\).
Имеем:
\(y = 3 — \frac{4x + 8}{x^{2} + 2x} = 3 — \frac{4(x + 2)}{x(x + 2)} = 3 — \frac{4}{x}\)
Прямая \(y = m\) не имеет с графиком ни одной общей точки при \(m = 3\) и \(m = 5\).
Ответ: при \(m = 3\) и \(m = 5\).

Рассмотрим функцию \(y = 3 — \frac{4x + 8}{x^{2} + 2x}\). Чтобы определить область её определения, необходимо исключить значения \(x\), при которых знаменатель обращается в ноль. Знаменатель \(x^{2} + 2x\) равен нулю, если \(x^{2} + 2x = 0\), то есть \(x(x + 2) = 0\). Следовательно, \(x = 0\) или \(x = -2\). Поэтому область определения функции: все \(x\), кроме \(x = 0\) и \(x = -2\).

Преобразуем выражение функции для удобства анализа. Распишем числитель \(4x + 8\) как \(4(x + 2)\). Тогда \(y = 3 — \frac{4(x + 2)}{x^{2} + 2x}\). Поскольку \(x^{2} + 2x = x(x + 2)\), имеем \(y = 3 — \frac{4(x + 2)}{x(x + 2)}\). Сокращаем числитель и знаменатель на \(x + 2\), получаем \(y = 3 — \frac{4}{x}\), где \(x \neq 0\) и \(x \neq -2\).

Теперь рассмотрим, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) не имеет общих точек с графиком функции. Для этого решим уравнение \(3 — \frac{4}{x} = m\). Преобразуем: \(3 — m = \frac{4}{x}\), отсюда \(x = \frac{4}{3 — m}\). Прямая не пересекает график функции, если уравнение не имеет решений для \(x\) из области определения функции, то есть если значение \(x\) либо не существует, либо совпадает с точками, выколотыми из области определения (\(x = 0\) или \(x = -2\)). \(x\) не существует, если знаменатель равен нулю, то есть \(3 — m = 0\), отсюда \(m = 3\). Кроме того, \(x\) может быть равен выколотым точкам. Если \(x = 0\), то \(\frac{4}{3 — m} = 0\), но это невозможно, так как числитель не равен нулю. Если \(x = -2\), то \(\frac{4}{3 — m} = -2\), то есть \(4 = -2(3 — m)\), \(4 = -6 + 2m\), \(10 = 2m\), \(m = 5\).

Итак, при \(m = 3\) уравнение не имеет решений, так как \(x\) не существует, а при \(m = 5\) единственное решение \(x = -2\), которое не входит в область определения функции. Следовательно, при \(m = 3\) и \(m = 5\) прямая \(y = m\) не имеет с графиком функции ни одной общей точки.