ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните пропуски.
1) Квадратичной называют функцию, которую можно задать формулой вида \(y = ax^2 + bx + c\).
2) Графиком квадратичной функции \(y = a(x — x_0)^2 + y_0\) является парабола с вершиной в точке \((x_0; y_0)\), где \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), равна параболе.
3) Осью симметрии параболы \(y = ax^2 + bx + c\) является прямая \(x = x_0\).
4) Если \(a > 0\), то ветви параболы \(y = ax^2 + bx + c\) направлены вверх; если \(a < 0\), то ветви параболы направлены вниз.

1) Квадратичной называют функцию, которую можно задать формулой вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(x\) — независимая переменная, \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые числа, причем \(a \neq 0\).

2) Графиком квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) является парабола с вершиной в точке \((x_0; y_0)\), где \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), равна параболе \(y = ax^2\).

3) Осью симметрии параболы \(y = ax^2 + bx + c\) является прямая \(x = -\frac{b}{2a}\).

4) Если \(a > 0\), то ветви параболы \(y = ax^2 + bx + c\) направлены вверх; если \(a < 0\), то ветви параболы направлены вниз.

Квадратичная функция — это одна из важнейших и часто встречающихся функций в математике и её приложениях. Её общий вид записывается как \(y = ax^2 + bx + c\), где \(x\) — независимая переменная, а \(a\), \(b\), \(c\) — некоторые постоянные числа, причём обязательно \(a \neq 0\). Если коэффициент \(a\) равен нулю, то функция перестаёт быть квадратичной и становится линейной, то есть принимает вид \(y = bx + c\). Квадратичная функция отличается тем, что её график всегда представляет собой параболу, то есть особую кривую второго порядка. В этой формуле \(a\) определяет направление и «ширину» ветвей параболы, \(b\) отвечает за смещение вдоль оси \(x\), а \(c\) — за смещение вдоль оси \(y\).

График квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) — это парабола, которая может быть расположена по-разному в зависимости от значений коэффициентов. Вершина параболы — это её наивысшая или наименьшая точка, в зависимости от знака коэффициента \(a\). Координата вершины по оси \(x\) вычисляется по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Подставляя это значение \(x_0\) в исходную формулу функции, можно найти координату вершины по оси \(y\): \(y_0 = a(x_0)^2 + b x_0 + c\). Таким образом, вершина параболы имеет координаты \((x_0; y_0)\). Если \(b = 0\), то вершина параболы совпадает с началом координат по оси \(x\) при \(c = 0\), а сама парабола симметрична относительно вертикальной оси \(x = 0\). Если \(b \neq 0\), парабола смещается вдоль оси \(x\) и её ось симметрии становится \(x = -\frac{b}{2a}\).

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы. Для любой квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) эта ось имеет уравнение \(x = -\frac{b}{2a}\). Это означает, что если взять любую точку на параболе, то на таком же расстоянии от оси симметрии, но с другой стороны, будет точка с тем же значением функции \(y\). Такое свойство объясняет, почему график квадратичной функции всегда выглядит одинаково симметрично относительно своей оси. Важно также отметить, что если коэффициент \(a > 0\), то ветви параболы направлены вверх, и вершина является наименьшей точкой графика (минимум функции). Если же \(a < 0\), то ветви параболы направлены вниз, и вершина становится наивысшей точкой (максимум функции). Это свойство широко используется при решении задач на нахождение наибольших и наименьших значений квадратичных выражений, а также при анализе движения, оптимизации и других практических задачах.