ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 10 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Составьте уравнение параболы, пересекающей оси координат в точках \((1; 0)\) \((4; 0)\) и \((0; 8)\).

Пусть \(y = ax^2 + bx + c\) – искомая парабола. Она пересекает ось ординат в точке \((0; 8)\). Следовательно, \(c = 8\). Имеем: \(y = ax^2 + bx + 8\). Подставив в последнее уравнение координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс, получаем систему уравнений:
\(
\begin{cases}
1^2 a + 1b + 8 = 0 \\
4^2 a + 4b + 8 = 0
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
a + b = -8 \\
16a + 4b = -8
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
a + b = -8 \\
4a + b = -2
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
-3a = -6 \\
a + b = -8
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
a = 2 \\
b = -8 — a
\end{cases}
\)
\(
\begin{cases}
a = 2 \\
b = -10
\end{cases}
\)
Искомое уравнение параболы: \(y = 2x^2 — 10x + 8\).
Ответ: \(y = 2x^2 — 10x + 8\).

Пусть уравнение параболы имеет вид \(y = ax^2 + bx + c\). По условию, парабола пересекает ось ординат в точке \((0; 8)\). Это означает, что если \(x = 0\), то \(y = 8\), следовательно, \(c = 8\). Таким образом, уравнение можно записать в виде \(y = ax^2 + bx + 8\). Теперь подставим координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс, а именно точки \((1; 0)\) и \((4; 0)\). Подставляя точку \((1; 0)\), получаем: \(0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 8\), то есть \(a + b + 8 = 0\), или \(a + b = -8\). Аналогично, подставляя точку \((4; 0)\), имеем: \(0 = a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 8\), то есть \(16a + 4b + 8 = 0\), или \(16a + 4b = -8\).

Теперь решим полученную систему уравнений. Первое уравнение: \(a + b = -8\). Второе: \(16a + 4b = -8\). Разделим второе уравнение на 4, чтобы упростить вычисления: \(\frac{16a}{4} + \frac{4b}{4} = \frac{-8}{4}\), получаем \(4a + b = -2\). Таким образом, наша система теперь выглядит так: \(a + b = -8\) и \(4a + b = -2\). Вычтем из второго уравнения первое: \((4a + b) — (a + b) = -2 — (-8)\). Получаем \(3a = 6\), откуда \(a = 2\).

Зная, что \(a = 2\), подставим это значение в первое уравнение системы: \(2 + b = -8\), отсюда \(b = -10\). Таким образом, мы нашли все коэффициенты искомой параболы: \(a = 2\), \(b = -10\), \(c = 8\). Подставляя их в исходное уравнение, получаем: \(y = 2x^2 — 10x + 8\). Это и есть уравнение параболы, которая проходит через заданные точки на осях координат.

Проверим, что найденное уравнение действительно удовлетворяет всем условиям задачи. Подставим \(x = 0\), получаем \(y = 2 \cdot 0^2 — 10 \cdot 0 + 8 = 8\), то есть точка \((0; 8)\) принадлежит параболе. Подставим \(x = 1\), получаем \(y = 2 \cdot 1^2 — 10 \cdot 1 + 8 = 2 — 10 + 8 = 0\), значит, точка \((1; 0)\) также принадлежит параболе. Подставим \(x = 4\), получаем \(y = 2 \cdot 16 — 10 \cdot 4 + 8 = 32 — 40 + 8 = 0\), то есть точка \((4; 0)\) тоже принадлежит параболе. Следовательно, построенное уравнение полностью соответствует всем условиям задачи.