ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 11 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Парабола проходит через точки \(A\ (0;\ -4)\), \(B\ (-1;\ -11)\) и \(C\ (4;\ 4)\). Найдите координаты её вершины.

Пусть \(y = ax^{2} + bx + c\) — искомая парабола. Она пересекает ось ординат в точке \(A\ (0;\ -4)\). Следовательно, \(c = -4\). Имеем: \(y = ax^{2} + bx — 4\). Подставив в последнее уравнение координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс, получаем систему уравнений:
\(({-1})^{2}a — 1b — 4 = -11\)
\(4^{2}a + 4b — 4 = 4\)
\(a — b = -7\)
\(16a + 4b = 8 \quad | : 4\)
\(a — b = -7\)
\(4a + b = 2\)
\(a = -1\)
\(b = 6\)
Уравнение параболы: \(y = -x^{2} + 6x — 4\). Координаты ее вершины:
\(x_{0} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3\)
\(y_{0} = f(3) = -3^{2} + 6 \cdot 3 — 4 = -9 + 18 — 4 = 5\).
Ответ: \((3; 5)\).

Рассмотрим параболу, проходящую через три заданные точки: \(A\ (0;\ -4)\), \(B\ (-1;\ -11)\) и \(C\ (4;\ 4)\). Общий вид уравнения параболы: \(y = ax^{2} + bx + c\). Подставим координаты точки \(A\) в уравнение параболы: \(y = ax^{2} + bx + c\). Получаем: \(-4 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c\), отсюда \(c = -4\). Теперь уравнение принимает вид \(y = ax^{2} + bx — 4\).

Подставим координаты точки \(B\ (-1;\ -11)\) в уравнение: \(-11 = a \cdot (-1)^{2} + b \cdot (-1) — 4\), то есть \(-11 = a — b — 4\). Переносим \(-4\) в правую часть: \(a — b = -7\). Теперь подставим координаты точки \(C\ (4;\ 4)\): \(4 = a \cdot 16 + b \cdot 4 — 4\), то есть \(4 = 16a + 4b — 4\). Переносим \(-4\) вправо: \(16a + 4b = 8\). Разделим оба уравнения на 4 для удобства: \(4a + b = 2\).

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
\(a — b = -7\)
\(4a + b = 2\)

Решим систему. Сложим оба уравнения, чтобы исключить \(b\): сложим первое уравнение с вторым, предварительно выразив \(b\) из первого: \(b = a + 7\). Подставим во второе: \(4a + (a + 7) = 2\), \(5a + 7 = 2\), \(5a = 2 — 7 = -5\), \(a = -1\). Теперь найдём \(b\): \(b = a + 7 = -1 + 7 = 6\).

Таким образом, уравнение параболы: \(y = -x^{2} + 6x — 4\). Для нахождения координат вершины параболы воспользуемся формулами: абсцисса вершины \(x_{0} = \frac{-b}{2a}\), где \(a = -1\), \(b = 6\). Тогда \(x_{0} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3\). Найдём ординату вершины, подставив \(x_{0}\) в уравнение параболы: \(y_{0} = -3^{2} + 6 \cdot 3 — 4 = -9 + 18 — 4 = 5\).

В результате вершина параболы имеет координаты \( (3; 5) \). Это значит, что максимальное значение функции (так как ветви направлены вниз, \(a < 0\)) достигается при \(x = 3\), и это значение равно \(y = 5\). Таким образом, найденные значения полностью соответствуют условиям задачи, а уравнение параболы удовлетворяет всем трём заданным точкам.