ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каком отрицательном значении \(k\) прямая \(y = kx — 4\) имеет с параболой \(y = x^2 — 3x\) ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении \(k\).

\(y = kx — 4\) и \(y = x^2 — 3x\).

Найдем, при каком значении \(k\) имеет один корень уравнение \(kx — 4 = x^2 — 3x\).

\(kx — 4 — x^2 + 3x = 0\)

\(-x^2 + (k + 3)x — 4 = 0\)

\(D = (k + 3)^2 — 4 \cdot 4 = k^2 + 6k + 9 — 16 = k^2 + 6k — 7\)

Квадратное уравнение имеет один корень, если \(D = 0\):

\(k^2 + 6k — 7 = 0\)

\(D = 36 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64\)

\(k_1 = \frac{-6 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 — 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7\)

\(k_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

В условии сказано, что \(k < 0\).

Тогда, уравнение прямой: \(y = -7x — 4\).

Графики пересекаются в точке \((-2; 10)\):

\(-7x — 4 = x^2 — 3x\)

\(x^2 — 3x + 7x + 4 = 0\)

\(x^2 + 4x + 4 = 0\)

\((x + 2)^2 = 0\)

\(x + 2 = 0\)

\(x = -2\)

\(y = x^2 — 3x = (-2)^2 — 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10\)

Ответ: при \(k = -7\), \((-2; 10)\).

Рассмотрим две функции: прямая \(y = kx — 4\) и парабола \(y = x^2 — 3x\). Нам нужно выяснить, при каком отрицательном значении параметра \(k\) графики этих функций имеют ровно одну общую точку, то есть касаются друг друга. Для этого приравниваем правые части уравнений: \(kx — 4 = x^2 — 3x\). Переносим все слагаемые в одну сторону: \(kx — 4 — x^2 + 3x = 0\), или \(-x^2 + (k + 3)x — 4 = 0\). Получили квадратное уравнение относительно \(x\). Чтобы у него был ровно один корень, его дискриминант должен быть равен нулю, ведь только тогда парабола и прямая имеют одну общую точку (касание).

Выпишем дискриминант для квадратного уравнения \(-x^2 + (k + 3)x — 4 = 0\): \(D = ((k + 3))^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-4)\). Раскроем скобки: \(D = (k + 3)^2 — 16\). Преобразуем: \(D = k^2 + 6k + 9 — 16 = k^2 + 6k — 7\). Приравняем дискриминант к нулю для того, чтобы уравнение имело единственный корень: \(k^2 + 6k — 7 = 0\). Решим это квадратное уравнение относительно \(k\): найдем дискриминант \(D_1 = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\). Тогда \(k_1 = \frac{-6 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-14}{2} = -7\), \(k_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2}{2} = 1\). По условию задачи требуется отрицательное значение, значит, выбираем \(k = -7\).

Теперь найдем координаты точки касания. Подставим найденное \(k\) в уравнение прямой: \(y = -7x — 4\). Система уравнений: \(y = x^2 — 3x\) и \(y = -7x — 4\). Приравняем: \(-7x — 4 = x^2 — 3x\). Переносим все в одну сторону: \(x^2 — 3x + 7x + 4 = 0\), \(x^2 + 4x + 4 = 0\). Заметим, что это полное квадратное выражение: \((x + 2)^2 = 0\), значит, \(x = -2\). Подставляем найденное значение \(x\) в уравнение любой из функций, например, в уравнение параболы: \(y = (-2)^2 — 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10\). Следовательно, точка касания имеет координаты \((-2; 10)\).

Таким образом, если \(k = -7\), то прямая \(y = -7x — 4\) и парабола \(y = x^2 — 3x\) касаются друг друга в единственной точке, координаты которой \((-2; 10)\). Это значит, что при \(k = -7\) система уравнений имеет ровно одно решение, а графики пересекаются только в одной точке, что и требовалось найти по условию задачи.