ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 14 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(p\) и \(q\) вершина параболы \(y = 2x^2 + px + q\) находится в точке \(A (-3; 5)\)?

№ 14.

\( y = 2x^{2} + px + q \)

Абсцисса вершины параболы \( x_{0} = -\frac{p}{4} \). По условию \( x_{0} = -3 \).

Следовательно, получаем уравнение \( -\frac{p}{4} = -3 \).

Отсюда \( p = 12 \).

Поскольку точка \( A \) принадлежит данной параболе, то, подставляя в формулу, задающую данную функцию, координаты точки \( A \), получаем:

\( 5 = 2 \cdot (-3)^{2} + 12 \cdot (-3) + q \)

\( 5 = 2 \cdot 9 — 36 + q \)

\( 5 = 18 — 36 + q \)

\( 5 = -18 + q \)

\( q = 5 + 18 \)

\( q = 23 \)

Ответ: \( p = 12, q = 23 \)

Рассмотрим уравнение параболы \( y = 2x^{2} + px + q \), где коэффициенты \( p \) и \( q \) неизвестны, и требуется их найти при заданных условиях. Сначала определим абсциссу вершины параболы. Формула для нахождения абсциссы вершины параболы, заданной уравнением \( y = ax^{2} + bx + c \), имеет вид \( x_{0} = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае коэффициент перед \( x^{2} \) равен 2, а перед \( x \) — \( p \), поэтому \( x_{0} = -\frac{p}{2 \cdot 2} = -\frac{p}{4} \). По условию задачи известно, что абсцисса вершины \( x_{0} = -3 \). Приравниваем полученное выражение к данному значению: \( -\frac{p}{4} = -3 \). Чтобы найти \( p \), домножаем обе части на -1, получаем \( \frac{p}{4} = 3 \), далее умножаем обе части на 4: \( p = 12 \).

Теперь, когда найдено значение \( p \), можно перейти к определению значения \( q \). Для этого используем информацию о том, что точка \( A \) с координатами \( (-3; 5) \) принадлежит данной параболе, то есть при \( x = -3 \) значение функции \( y \) равно 5. Подставляем эти значения в исходное уравнение параболы: \( 5 = 2 \cdot (-3)^{2} + 12 \cdot (-3) + q \). Сначала вычисляем квадрат: \( (-3)^{2} = 9 \), затем перемножаем: \( 2 \cdot 9 = 18 \), \( 12 \cdot (-3) = -36 \). Подставляем полученные значения: \( 5 = 18 — 36 + q \). Складываем: \( 18 — 36 = -18 \), значит \( 5 = -18 + q \). Чтобы найти \( q \), переносим -18 в левую часть, получаем: \( q = 5 + 18 = 23 \).

Таким образом, все расчеты показывают, что при выполнении данных условий уравнение параболы будет иметь вид \( y = 2x^{2} + 12x + 23 \). Коэффициенты \( p \) и \( q \) определены однозначно: \( p = 12 \), \( q = 23 \). Эти значения полностью соответствуют исходным условиям задачи: вершина параболы находится в точке \( x = -3 \), а точка \( A(-3; 5) \) действительно принадлежит графику функции.