ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) и \(b\) вершина параболы \(y = ax^2 + bx — 10\) находится в точке \(B\,(-1;\,-13)\)?

№ 15.
\(y = ax^2 + bx — 10.\)
Абсцисса вершины параболы \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). По условию \(x_0 = -1\).
Следовательно, получаем уравнение \(-\frac{b}{2a} = -1\).
Отсюда \(b = 2a\).
Поскольку точка \(B\) принадлежит данной параболе, то, подставляя в формулу, задающую данную функцию, координаты точки \(B\), получаем:
\(-13 = a \cdot (-1)^2 + 2a \cdot (-1) — 10\)
\(-13 = a — 2a — 10\)
\(-13 = -a — 10\)
\(a = 3\).
Тогда:
\(b = 2a = 2 \cdot 3 = 6\).
Ответ: \(a = 3, b = 6\).

Рассмотрим параболу, заданную уравнением \(y = ax^2 + bx — 10\). Вершина параболы — это точка, в которой достигается либо максимум, либо минимум функции, в зависимости от знака коэффициента \(a\). Абсцисса вершины для параболы, заданной в общем виде \(y = ax^2 + bx + c\), вычисляется по формуле \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). В данной задаче по условию вершина параболы находится в точке \(B(-1; -13)\), то есть абсцисса вершины \(x_0 = -1\). Подставляя это значение в формулу для абсциссы вершины, получаем уравнение: \(-\frac{b}{2a} = -1\). Чтобы избавиться от знаков минуса и дроби, умножим обе части на \(-1\), получим \(\frac{b}{2a} = 1\), и далее умножим обе части на \(2a\): \(b = 2a\). Это соотношение между коэффициентами \(a\) и \(b\) обязательно должно выполняться, чтобы вершина параболы находилась в точке с абсциссой \(-1\).

Далее, поскольку точка \(B(-1; -13)\) является вершиной параболы, а значит принадлежит графику функции, её координаты должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим \(x = -1\) и \(y = -13\) в исходное уравнение: \(-13 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) — 10\). Раскроем скобки и упростим выражение: \(-13 = a \cdot 1 + b \cdot (-1) — 10\), то есть \(-13 = a — b — 10\). Теперь вспомним, что ранее мы получили \(b = 2a\), и подставим это значение вместо \(b\) в уравнение: \(-13 = a — 2a — 10\). Упрощаем: \(a — 2a = -a\), значит \(-13 = -a — 10\).

Теперь решим это уравнение относительно \(a\). Перенесём все слагаемые, содержащие \(a\), в одну сторону, а числа — в другую: \(-13 + 10 = -a\), то есть \(-3 = -a\). Умножая обе части на \(-1\), получаем \(a = 3\). Теперь, когда найдено значение \(a\), определим \(b\) с помощью ранее найденного соотношения \(b = 2a\): \(b = 2 \cdot 3 = 6\). Таким образом, единственные значения коэффициентов \(a\) и \(b\), при которых вершина параболы \(y = ax^2 + bx — 10\) находится в точке \(B(-1; -13)\), это \(a = 3\) и \(b = 6\).