ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 17 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Арка моста имеет форму параболы. Составьте уравнение этой параболы, если высота арки равна \(9\) м, а расстояние между опорами равно \(30\) м.

Пусть \(y = ax^{2} + bx + c\) — искомая парабола. Парабола пересекает ось абсцисс в точках \((0; 0)\) и \((30; 0)\). Вершина параболы в точке \((15; 9)\).

Абсцисса вершины параболы \(x_{0} = -\frac{b}{2a}\).

Имеем:
\(-\frac{b}{2a} = 15\)
\(-b = 30a\)
\(b = -30a\)

При \(x = 0\) и \(y = 0 \rightarrow c = 0\).

Имеем: \(y = ax^{2} — 30ax\).

Подставим координаты точки \((15; 9)\) в последнее уравнение:
\(9 = a \cdot 15^{2} — 30a \cdot 15\)
\(9 = 225a — 450a\)
\(9 = -225a\)
\(a = \frac{9}{225} = -\frac{1}{25}\)
\(a = -0{,}04\)

Тогда:
\(b = -30a = -30 \cdot (-0{,}04) = 1{,}2\)

Искомое уравнение параболы: \(y = -0{,}04x^{2} + 1{,}2x\).

Пусть уравнение параболы имеет вид \(y = ax^{2} + bx + c\). По условию задачи известно, что парабола проходит через точки \((0; 0)\) и \((30; 0)\), то есть её ветви направлены вниз, а сами точки являются пересечениями с осью абсцисс. Если подставить \(x = 0\), получаем \(y = c\), а так как \(y = 0\), то \(c = 0\). Аналогично, если подставить \(x = 30\), то \(y = a \cdot 30^{2} + b \cdot 30 = 0\). Таким образом, у нас уже есть два уравнения: \(c = 0\) и \(900a + 30b = 0\).

Вершина этой параболы находится в точке \((15; 9)\). Формула для нахождения абсциссы вершины параболы общего вида \(y = ax^{2} + bx + c\) такова: \(x_{0} = -\frac{b}{2a}\). Подставляем значение \(x_{0} = 15\), получаем: \(-\frac{b}{2a} = 15\). Отсюда выражаем \(b\): умножаем обе части на \(2a\), получаем \(-b = 30a\), значит, \(b = -30a\).

Теперь вернёмся к уравнению, которое мы получили из условия прохождения через точку \((30; 0)\): \(900a + 30b = 0\). Подставим сюда выражение для \(b\): \(900a + 30 \cdot (-30a) = 0\), то есть \(900a — 900a = 0\). Это тождество, следовательно, нам нужно использовать третье условие — координаты вершины. Подставим координаты вершины \((15; 9)\) в уравнение параболы: \(y = a x^{2} + b x\), то есть \(9 = a \cdot 15^{2} + b \cdot 15\). Подставляем \(b = -30a\): \(9 = a \cdot 225 — 30a \cdot 15\), \(9 = 225a — 450a\), \(9 = -225a\). Отсюда \(a = -\frac{9}{225}\), что сокращается до \(a = -\frac{1}{25}\) или \(a = -0{,}04\).

Теперь найдём \(b\): \(b = -30a = -30 \cdot (-0{,}04) = 1{,}2\). Таким образом, уравнение параболы принимает вид \(y = -0{,}04x^{2} + 1{,}2x\). Это уравнение полностью соответствует условиям задачи: оно проходит через точки \((0; 0)\) и \((30; 0)\), а вершина находится в точке \((15; 9)\).