ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 18 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Мяч бросили вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Расстояние от мяча до земли изменяется по закону \( h = 20t — 5t^2 \), где \( h \) — расстояние от мяча до земли (в метрах), \( t \) — время полёта мяча (в секундах).

1) Какой наибольшей высоты достиг мяч?
2) Сколько секунд мяч летел вверх?
3) Через сколько секунд после броска мяч упал на землю?

\( h = 20t — 5t^2 \).

Зависимость \( h(t) = 20t — 5t^2 \) высоты полета мяча от времени полета является квадратичной функцией вида \( y = at^2 + bt + c \), где \( a = -5 \), \( b = 20 \), \( c = 0 \).

Время полета равно \( x_0 = -\frac{b}{2a} \):

\( t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \) (с) — летел мяч вверх и столько же вниз. Все время полета 4 с.

Расстояние от мяча до земли равно \( y_0 = f(2) \):

\( h = 20 \cdot 2 — 5 \cdot 2^2 = 40 — 5 \cdot 4 = 20 — 20 = 20 \) (м).

Ответ: 1) 20 м; 2) 2 с; 3) 4 с.

Дано уравнение движения мяча, который был брошен вертикально вверх с поверхности земли: \( h = 20t — 5t^2 \), где \( h \) — высота над землёй в метрах, \( t \) — время в секундах. Это уравнение описывает зависимость высоты от времени и имеет вид квадратичной функции, где коэффициенты: \( a = -5 \), \( b = 20 \), \( c = 0 \). Квадратичная функция такого вида задаёт параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент перед \( t^2 \) отрицательный.

Для нахождения наибольшей высоты, которую достигнет мяч, нужно определить вершину параболы. Вершина квадратичной функции \( y = at^2 + bt + c \) находится при \( t_0 = -\frac{b}{2a} \). Подставляем значения: \( t_0 = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \) секунды. Это время, через которое мяч достигнет максимальной высоты. Теперь подставим это значение времени обратно в исходное уравнение, чтобы найти саму высоту: \( h_{max} = 20 \cdot 2 — 5 \cdot (2^2) = 40 — 5 \cdot 4 = 40 — 20 = 20 \) метров. Таким образом, мяч достигнет наибольшей высоты 20 метров через 2 секунды после броска.

Время, в течение которого мяч поднимается вверх, составляет 2 секунды, как показано выше. Так как движение симметрично относительно вершины параболы (вверх и вниз одинаковое время), общее время полёта — это удвоенное время подъёма: \( t_{общ} = 2 \cdot 2 = 4 \) секунды. Это можно также проверить, решив уравнение \( h = 0 \) для определения времени, когда мяч вернётся на землю. Подставляем \( h = 0 \): \( 0 = 20t — 5t^2 \), получаем \( 20t = 5t^2 \), делим обе части на \( t \) (кроме \( t = 0 \)), получаем \( 20 = 5t \), откуда \( t = 4 \) секунды.

В результате, ответы на вопросы задачи таковы: максимальная высота, на которую поднимется мяч — 20 метров; время, за которое мяч достигнет этой высоты — 2 секунды; и всё время полёта, по прошествии которого мяч упадёт на землю, — 4 секунды. Всё это следует из анализа квадратичной зависимости высоты от времени и свойств параболы.