ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 20 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \frac{(x — 1)(x^2 + 7x + 10)}{x + 2} \). Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

\( y = \frac{(x-1)(x^2+7x+10)}{x+2} = \frac{(x-1)(x+5)(x+2)}{x+2} = (x-1)(x+5) = x^2+5x-x-5 =\)
\(= x^2+4x-5 \)

Разложим квадратный трехчлен \( x^2+7x+10 \) на множители.

\( x^2+7x+10 = (x+5)(x+2) \)

По теореме Виета:

\( x_1+x_2 = -7; \quad x_1x_2 = 10; \quad x_1 = -5, \quad x_2 = -2 \)

\( D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) \)

Прямая \( y = m \) ни при каких \( m \) не имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: таких \( m \) нет.

Дана функция \( y = \frac{(x-1)(x^2+7x+10)}{x+2} \). Для упрощения выражения разложим квадратный трехчлен \( x^2+7x+10 \) на множители. Найдем такие числа, которые в сумме дают 7, а в произведении 10. Это числа 5 и 2, следовательно, \( x^2+7x+10 = (x+5)(x+2) \). Подставляя это разложение, получаем: \( y = \frac{(x-1)(x+5)(x+2)}{x+2} \). Сокращаем на \( x+2 \), но важно помнить, что при \( x=-2 \) знаменатель обращается в ноль, а значит, точка \( x=-2 \) не принадлежит области определения функции. Окончательно: \( y = (x-1)(x+5) = x^2+4x-5 \) при \( x \neq -2 \).

Область определения функции определяется условием, что знаменатель не равен нулю, то есть \( x+2 \neq 0 \), следовательно, \( x \neq -2 \). Таким образом, область определения: \( D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) \). Это значит, что график функции совпадает с параболой \( y = x^2+4x-5 \), но в точке \( x=-2 \) имеется разрыв второго рода (выколотая точка), так как при подстановке \( x=-2 \) в исходную функцию получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \).

Теперь рассмотрим вопрос о количестве точек пересечения прямой \( y = m \) с графиком функции. Пересечение прямой с параболой определяется уравнением \( x^2+4x-5 = m \), то есть \( x^2+4x-(5+m) = 0 \). Это квадратное уравнение относительно \( x \), которое обычно имеет два корня, если дискриминант положителен, один корень — если дискриминант равен нулю, и не имеет корней — если дискриминант отрицателен. Однако, из-за выколотой точки \( x=-2 \), если один из корней равен \(-2\), то эта точка не принадлежит графику функции. Проверим, может ли прямая иметь ровно одну общую точку с графиком. Если дискриминант равен нулю, то вершина параболы, а значит, прямая касается графика в одной точке, но если эта точка не равна \(-2\), то она принадлежит графику. Если дискриминант положителен, но один из корней равен \(-2\), то только второй корень принадлежит графику, однако при вычислениях видно, что при \( x = -2 \) значение функции не определено, а второй корень всегда существует, значит, пересечений будет либо две, либо ни одной, но никогда ровно одной.

В итоге, ни при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) не имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Всегда либо две точки пересечения, либо ни одной, либо одна из точек пересечения не принадлежит области определения функции, но вторая обязательно существует. Поэтому ответ: таких \( m \) нет, то есть множество решений \( \emptyset \).