ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 21 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = \begin{cases} \frac{5}{x}, \text{ если } x < -1; \\ -x^2 + 4x, \text{ если } x > -1 \end{cases}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

\(y = \begin{cases} \frac{5}{x}, \text{ если } x \leq -1 \\ -x^{2} + 4x, \text{ если } x > -1 \end{cases}\)

\(y = \frac{5}{x}, \text{ если } x \leq -1\)

\(y = -x^{2} + 4x, \text{ если } x > -1\)

Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(-5 < m < 0\).

Ответ: при \(-5 < m < 0\).

Данная функция является кусочной и состоит из двух частей: для \(x \leq -1\) определена как \(y = \frac{5}{x}\), а для \(x > -1\) — как \(y = -x^{2} + 4x\). Это значит, что на оси \(x\) точка \(x = -1\) является границей между двумя различными выражениями функции. Первая часть, \(y = \frac{5}{x}\), определена только для отрицательных значений \(x\), не включая ноль, и при \(x = -1\) значение функции равно \(y = \frac{5}{-1} = -5\). Вторая часть, \(y = -x^{2} + 4x\), представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, и она определена для всех \(x > -1\). При \(x = 0\) получаем \(y = 0\), при \(x = 1\) — \(y = -1^{2} + 4 \cdot 1 = 3\).

Рассмотрим, сколько точек пересечения имеет прямая \(y = m\) с графиком функции. Для этого надо решить уравнения \(\frac{5}{x} = m\) для \(x \leq -1\) и \(-x^{2} + 4x = m\) для \(x > -1\). Первое уравнение даёт \(x = \frac{5}{m}\). Чтобы эта точка принадлежала области определения, требуется \(\frac{5}{m} \leq -1\), то есть \(m < -5\). Однако если \(m = -5\), то \(x = -1\) — это граница, и нужно проверить, входит ли эта точка в оба участка. Для второго уравнения, \(-x^{2} + 4x = m\), получаем квадратное уравнение \(x^{2} — 4x + m = 0\), которое может иметь два решения при положительном дискриминанте, то есть \(16 — 4m > 0\), что эквивалентно \(m < 4\). Но нам интересен случай, когда общее число решений — ровно три.

Когда \(m < -5\), у первого уравнения есть решение для \(x \leq -1\), и у второго — два решения для \(x > -1\), итого три точки пересечения. Если \(m = -5\), то \(x = -1\) совпадает с границей, а также может быть решением второго уравнения, но в этом случае точка будет единственной для первого участка и одной из двух для второго, что может дать меньше или больше трёх точек пересечения. Если \(m > 0\), то у первого уравнения нет решений, так как \(x = \frac{5}{m} > 0\), а это вне области определения, и все пересечения будут только с параболой, максимум две точки. Если \(m\) лежит в промежутке \(-5 < m < 0\), то для первого уравнения \(x = \frac{5}{m}\) будет отрицательным и строго меньше \(-1\), а для второго уравнения будет два решения, так как дискриминант положительный, и оба решения будут больше \(-1\), то есть в области определения второй части функции.

Итак, чтобы прямая \(y = m\) имела ровно три общие точки с графиком, необходимо, чтобы одно решение приходилось на участок \(x \leq -1\) и два — на участок \(x > -1\). Это выполняется только при \(-5 < m < 0\), так как тогда \(x = \frac{5}{m} < -1\) и оба корня квадратного уравнения \(x^{2} — 4x + m = 0\) лежат в области определения второй части функции. Таким образом, ответ: при \(-5 < m < 0\).