ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 22 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \begin{cases} x^2 — 4x + 5, \text{ если } x \geq 1; \\ x + 1, \text{ если } x < 1 \end{cases} \). Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

№ 22.

\( y = \begin{cases} x^{2} — 4x + 5, \text{ если } x \geq 1 \\ x + 1, \text{ если } x < 1 \end{cases} \)

\( y = x^{2} — 4x + 5, \text{ если } x \geq 1; \)

\( y = x + 1, \text{ если } x < 1; \)

Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки при \( m = 1 \) и \( m = 2 \)

Ответ: при \( m = 1 \) и \( m = 2 \).

В данной задаче рассматривается функция, определённая по частям: для \( x \geq 1 \) используется квадратичная функция \( y = x^{2} — 4x + 5 \), а для \( x < 1 \) — линейная функция \( y = x + 1 \). Это означает, что график состоит из двух различных участков: парабола для больших или равных единице значений \( x \) и прямая для меньших единицы значений \( x \). На графике видно, что в точке \( x = 1 \) обе части функции соединяются, и значение функции в этой точке равно \( y = 2 \), поскольку \( 1^{2} — 4 \cdot 1 + 5 = 2 \) и \( 1 + 1 = 2 \).

Рассмотрим, при каких значениях параметра \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках. Для этого нужно проанализировать оба участка функции. Пусть \( y = m \) пересекает линейную часть \( y = x + 1 \) при \( x < 1 \). Решая уравнение \( x + 1 = m \), получаем \( x = m — 1 \). Чтобы точка пересечения принадлежала линейному участку, необходимо \( m — 1 < 1 \), то есть \( m < 2 \). Теперь рассмотрим квадратичную часть: \( x^{2} — 4x + 5 = m \), что эквивалентно уравнению \( x^{2} — 4x + (5 — m) = 0 \). Это квадратное уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от значения дискриминанта \( D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (5 — m) = 16 — 4(5 — m) = 16 — 20 + 4m = -4 + 4m \).

Для двух точек пересечения необходимо, чтобы общее количество решений системы было равно двум. Рассмотрим случай \( m = 1 \): линейная часть \( x + 1 = 1 \) даёт \( x = 0 \), что принадлежит области \( x < 1 \). Квадратичная часть \( x^{2} — 4x + 5 = 1 \) даёт уравнение \( x^{2} — 4x + 4 = 0 \), то есть \( (x — 2)^{2} = 0 \), отсюда \( x = 2 \), что удовлетворяет \( x \geq 1 \). Таким образом, прямая \( y = 1 \) пересекает график ровно в двух точках: \( (0, 1) \) и \( (2, 1) \).

Аналогично рассмотрим \( m = 2 \). Линейная часть \( x + 1 = 2 \) даёт \( x = 1 \), однако \( x = 1 \) не принадлежит области \( x < 1 \), поэтому пересечения с линейной частью нет. Квадратичная часть \( x^{2} — 4x + 5 = 2 \) даёт \( x^{2} — 4x + 3 = 0 \), дискриминант \( D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \), корни \( x = \frac{4 \pm 2}{2} \), то есть \( x_{1} = 3 \), \( x_{2} = 1 \). Оба значения удовлетворяют условию \( x \geq 1 \), значит, прямая \( y = 2 \) пересекает график ровно в двух точках: \( (1, 2) \) и \( (3, 2) \).

В результате, только при \( m = 1 \) и \( m = 2 \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки. Для других значений \( m \) либо пересечение происходит в одной точке, либо более чем в двух точках, либо вовсе отсутствует. Это подтверждается анализом уравнений и проверкой областей определения каждой части функции.