ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 23 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции у = — 2x + 4|x| — x*2. Определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

При \(x \geq 0\) имеем:
\(y = -2x + 4x — x^2 = 2x — x^2\)
При \(x < 0\) имеем:
\(y = -2x — 4x — x^2 = -6x — x^2\)
Следовательно, \(y = \begin{cases} 2x — x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -6x — x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}\)

Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(m = 0\) и \(m = 1\).

Ответ: при \(m = 0\) и \(m = 1\).

Рассмотрим функцию \(y = -2x + 4|x| — x^2\). Для нахождения точек пересечения графика этой функции с прямой \(y = m\) необходимо решить уравнение \(-2x + 4|x| — x^2 = m\).

При \(x \geq 0\) имеем \(y = -2x + 4x — x^2 = 2x — x^2\). Приравнивая это выражение к \(m\), получаем уравнение \(2x — x^2 = m\), которое можно решить, используя формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}\) для квадратного уравнения. В данном случае \(a = -1\), \(b = 2\), \(c = -m\), поэтому корни уравнения будут \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4m}}{-2} = 1 \pm \sqrt{1 + m}\).

При \(x < 0\) имеем \(y = -2x — 4x — x^2 = -6x — x^2\). Приравнивая это выражение к \(m\), получаем уравнение \(-6x — x^2 = m\), которое также можно решить, используя формулу для квадратного уравнения. В данном случае \(a = -1\), \(b = -6\), \(c = -m\), поэтому корни уравнения будут \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4m}}{-2} = -3 \pm \sqrt{9 + m}\).

Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком функции \(y = -2x + 4|x| — x^2\) ровно три общие точки, когда \(m = 0\) и \(m = 1\). В первом случае корни уравнения \(2x — x^2 = 0\) будут \(x = 0\) и \(x = 2\), а во втором случае корни уравнения \(2x — x^2 = 1\) будут \(x = 1 \pm \sqrt{2}\).

Ответ: при \(m = 0\) и \(m = 1\).